გადაწყვიტეთ 3x^2+24x+90=0

$$3 x ^ { 2 } + 24 x + 90 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=-4+\sqrt{14}i\approx -4+3.741657387i$$

$$x=-\sqrt{14}i-4\approx -4-3.741657387i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}+24x+90=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, 24-ით b და 90-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 3\times 90}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში 24.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 3\times 90}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-12\times 90}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე 90.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-1080}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 576 -1080-ს.

$$x=\frac{-24±\sqrt{-504}}{2\times 3}$$

აიღეთ -504-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-24±6\sqrt{14}i}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{-24±6\sqrt{14}i}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-24±6\sqrt{14}i}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -24 6i\sqrt{14}-ს.

$$x=\frac{-24+6\sqrt{14}i}{6}$$

გაყავით -24+6i\sqrt{14} 6-ზე.

$$x=-4+\sqrt{14}i$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-24±6\sqrt{14}i}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 6i\sqrt{14} -24-ს.

$$x=\frac{-6\sqrt{14}i-24}{6}$$

გაყავით -24-6i\sqrt{14} 6-ზე.

$$x=-\sqrt{14}i-4$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-4+\sqrt{14}i x=-\sqrt{14}i-4$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+24x+90=0$$

გამოაკელით 90 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+24x+90-90=-90$$

90-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}+24x=-90$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}+24x}{3}=-\frac{90}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{24}{3}x=-\frac{90}{3}$$

გაყავით 24 3-ზე.

$$x^{2}+8x=-\frac{90}{3}$$

გაყავით -90 3-ზე.

$$x^{2}+8x=-30$$

გაყავით 8, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 4-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 4-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+8x+4^{2}=-30+4^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 4.

$$x^{2}+8x+16=-30+16$$

მიუმატეთ -30 16-ს.

$$x^{2}+8x+16=-14$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+8x+16. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+4\right)^{2}=-14$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+4\right)^{2}}=\sqrt{-14}$$

გაამარტივეთ.

$$x+4=\sqrt{14}i x+4=-\sqrt{14}i$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-4+\sqrt{14}i x=-\sqrt{14}i-4$$