გადაწყვიტეთ 3x^2+2x+5=18

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 5 = 18$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{2 \sqrt{10} - 1}{3} \approx 1.774851773$$

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-1}{3}\approx -2.44151844$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}+2x+5=18$$

გამოაკელით 18 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+2x+5-18=18-18$$

18-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}+2x+5-18=0$$

გამოაკელით 18 5-ს.

$$3x^{2}+2x-13=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, 2-ით b და -13-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12\left(-13\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -13.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+156}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 4 156-ს.

$$x=\frac{-2±\sqrt{160}}{2\times 3}$$

აიღეთ 160-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-2±4\sqrt{10}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{-2±4\sqrt{10}}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±4\sqrt{10}}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -2 4\sqrt{10}-ს.

$$x=\frac{4\sqrt{10}-2}{6}$$

გაყავით -2+4\sqrt{10} 6-ზე.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-1}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±4\sqrt{10}}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4\sqrt{10} -2-ს.

$$x=\frac{-4\sqrt{10}-2}{6}$$

გაყავით -2-4\sqrt{10} 6-ზე.

$$x=\frac{-2\sqrt{10}-1}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-1}{3} x=\frac{-2\sqrt{10}-1}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x+5=18$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+2x+5-5=18-5$$

5-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}+2x=18-5$$

გამოაკელით 5 18-ს.

$$3x^{2}+2x=13$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=\frac{13}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{13}{3}$$

გაყავით \frac{2}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{13}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{13}{3}+\frac{1}{9}$$

მიუმატეთ \frac{13}{3} \frac{1}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{40}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{40}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{10}}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{10}}{3}$$

გამოაკელით \frac{1}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{2\sqrt{10}-1}{3} x=\frac{-2\sqrt{10}-1}{3}$$