გადაწყვიტეთ 3x^2+16x-35=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 35 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-7$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 3x^{2}+ax+bx-35. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=16 ab=3\left(-35\right)=-105$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -105.

$$-1,105 -3,35 -5,21 -7,15$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+105=104 -3+35=32 -5+21=16 -7+15=8$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 16.

$$a=-5 b=21$$

ხელახლა დაწერეთ 3x^{2}+16x-35, როგორც \left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right).

$$\left(3x^{2}-5x\right)+\left(21x-35\right)$$

x-ის პირველ, 7-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(3x-5\right)+7\left(3x-5\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 3x-5 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(3x-5\right)\left(x+7\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 3x-5=0 და x+7=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, 16-ით b და -35-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-35\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -35.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+420}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 256 420-ს.

$$x=\frac{-16±\sqrt{676}}{2\times 3}$$

აიღეთ 676-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-16±26}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{-16±26}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-16±26}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -16 26-ს.

$$x=\frac{10}{6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{10}{6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{5}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-16±26}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 26 -16-ს.

$$x=-\frac{42}{6}$$

გაყავით -42 6-ზე.

$$x=-7$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+16x-35=0$$

მიუმატეთ 35 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+16x-35-\left(-35\right)=-\left(-35\right)$$

-35-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}+16x=-\left(-35\right)$$

გამოაკელით -35 0-ს.

$$3x^{2}+16x=35$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{35}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{35}{3}$$

გაყავით \frac{16}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{8}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{8}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{35}{3}+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{8}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{35}{3}+\frac{64}{9}$$

მიუმატეთ \frac{35}{3} \frac{64}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{169}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{169}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{13}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{13}{3}$$

გამოაკელით \frac{8}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{5}{3} x=-7$$