გადაწყვიტეთ 3x^2+16x-12=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 12 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-6$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 3x^{2}+ax+bx-12. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=16 ab=3\left(-12\right)=-36$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 16.

$$a=-2 b=18$$

ხელახლა დაწერეთ 3x^{2}+16x-12, როგორც \left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right).

$$\left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right)$$

x-ის პირველ, 6-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(3x-2\right)+6\left(3x-2\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 3x-2 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(3x-2\right)\left(x+6\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 3x-2=0 და x+6=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}+16x-12=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, 16-ით b და -12-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში 16.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -12.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+144}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 256 144-ს.

$$x=\frac{-16±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

აიღეთ 400-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-16±20}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{-16±20}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-16±20}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -16 20-ს.

$$x=\frac{4}{6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{4}{6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{2}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-16±20}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 20 -16-ს.

$$x=-\frac{36}{6}$$

გაყავით -36 6-ზე.

$$x=-6$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+16x-12=0$$

მიუმატეთ 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+16x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

-12-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}+16x=-\left(-12\right)$$

გამოაკელით -12 0-ს.

$$3x^{2}+16x=12$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{12}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{12}{3}$$

გაყავით 12 3-ზე.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=4$$

გაყავით \frac{16}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{8}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{8}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=4+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{8}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=4+\frac{64}{9}$$

მიუმატეთ 4 \frac{64}{9}-ს.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{100}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{10}{3}$$

გამოაკელით \frac{8}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$