გადაწყვიტეთ 3x+10y=102,3x+1y=84

$$3 x + 10 y = 102,3 x + 1 y = 84$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x = \frac{82}{3} = 27\frac{1}{3} \approx 27.333333333$$

$$y=2$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$3x+10y=102$$

გამოაკელით 10y განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-10y+102$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+102\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე -10y+102.

$$x=-\frac{10}{3}y+34$$

ჩაანაცვლეთ -\frac{10y}{3}+34-ით x მეორე განტოლებაში, 3x+y=84.

$$3\left(-\frac{10}{3}y+34\right)+y=84$$

გაამრავლეთ 3-ზე -\frac{10y}{3}+34.

$$-10y+102+y=84$$

მიუმატეთ -10y y-ს.

$$-9y+102=84$$

გამოაკელით 102 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-9y=-18$$

ორივე მხარე გაყავით -9-ზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: x=-\frac{10}{3}y+34. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{10}{3}\times 2+34$$

გაამრავლეთ -\frac{10}{3}-ზე 2.

$$x=-\frac{20}{3}+34$$

მიუმატეთ 34 -\frac{20}{3}-ს.

$$x=\frac{82}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{82}{3},y=2$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-10\times 3}&-\frac{10}{3-10\times 3}\\-\frac{3}{3-10\times 3}&\frac{3}{3-10\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}&\frac{10}{27}\\\frac{1}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{27}\times 102+\frac{10}{27}\times 84\\\frac{1}{9}\times 102-\frac{1}{9}\times 84\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{82}{3}\\2\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{82}{3},y=2$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$3x+10y=102,3x+y=84$$

გამოაკელით 3x+y=84 3x+10y=102-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$3x-3x+10y-y=102-84$$

მიუმატეთ 3x -3x-ს. პირობები 3x და -3x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$10y-y=102-84$$

მიუმატეთ 10y -y-ს.

$$9y=102-84$$

მიუმატეთ 102 -84-ს.

$$9y=18$$

ორივე მხარე გაყავით 9-ზე.

$$y=2$$

ჩაანაცვლეთ 2-ით y აქ: 3x+y=84. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x+2=84$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=82$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=\frac{82}{3}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{82}{3},y=2$$