გადაწყვიტეთ 3v^2+5v-8=0

$$3 v ^ { 2 } + 5 v - 8 = 0$$

ამოხსნა v-ისთვის

$$v = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2.666666667$$

$$v=1$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 3v^{2}+av+bv-8. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=5 ab=3\left(-8\right)=-24$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 5.

$$a=-3 b=8$$

ხელახლა დაწერეთ 3v^{2}+5v-8, როგორც \left(3v^{2}-3v\right)+\left(8v-8\right).

$$\left(3v^{2}-3v\right)+\left(8v-8\right)$$

3v-ის პირველ, 8-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$3v\left(v-1\right)+8\left(v-1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი v-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(v-1\right)\left(3v+8\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით v-1=0 და 3v+8=0.

$$v=1 v=-\frac{8}{3}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3v^{2}+5v-8=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, 5-ით b და -8-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში 5.

$$v=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$v=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -8.

$$v=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 25 96-ს.

$$v=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\times 3}$$

აიღეთ 121-ის კვადრატული ფესვი.

$$v=\frac{-5±11}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$v=\frac{-5±11}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება v=\frac{-5±11}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -5 11-ს.

$$v=\frac{6}{6}$$

გაყავით 6 6-ზე.

$$v=1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება v=\frac{-5±11}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 11 -5-ს.

$$v=-\frac{16}{6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-16}{6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$v=-\frac{8}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$v=1 v=-\frac{8}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3v^{2}+5v-8=0$$

მიუმატეთ 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3v^{2}+5v-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

-8-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3v^{2}+5v=-\left(-8\right)$$

გამოაკელით -8 0-ს.

$$3v^{2}+5v=8$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3v^{2}+5v}{3}=\frac{8}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$v^{2}+\frac{5}{3}v=\frac{8}{3}$$

გაყავით \frac{5}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{5}{6}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{5}{6}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$v^{2}+\frac{5}{3}v+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{5}{6} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$v^{2}+\frac{5}{3}v+\frac{25}{36}=\frac{8}{3}+\frac{25}{36}$$

მიუმატეთ \frac{8}{3} \frac{25}{36}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$v^{2}+\frac{5}{3}v+\frac{25}{36}=\frac{121}{36}$$

დაშალეთ მამრავლებად v^{2}+\frac{5}{3}v+\frac{25}{36}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(v+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{121}{36}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(v+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{36}}$$

გაამარტივეთ.

$$v+\frac{5}{6}=\frac{11}{6} v+\frac{5}{6}=-\frac{11}{6}$$

გამოაკელით \frac{5}{6} განტოლების ორივე მხარეს.

$$v=1 v=-\frac{8}{3}$$