გადაწყვიტეთ 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

ამოხსნა n-ისთვის

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$n=3$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 3n^{2}+an+bn-15. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -45.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -4.

$$a=-9 b=5$$

ხელახლა დაწერეთ 3n^{2}-4n-15, როგორც \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right).

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

3n-ის პირველ, 5-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი n-3 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით n-3=0 და 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, -4-ით b და -15-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში -4.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 16 180-ს.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

აიღეთ 196-ის კვადრატული ფესვი.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

-4-ის საპირისპიროა 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება n=\frac{4±14}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 4 14-ს.

$$n=\frac{18}{6}$$

გაყავით 18 6-ზე.

$$n=3$$

ახლა ამოხსენით განტოლება n=\frac{4±14}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 14 4-ს.

$$n=-\frac{10}{6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-10}{6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$n=-\frac{5}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

მიუმატეთ 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

გამოაკელით -15 0-ს.

$$3n^{2}-4n=15$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

გაყავით 15 3-ზე.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

გაყავით -\frac{4}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{2}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{2}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{2}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

მიუმატეთ 5 \frac{4}{9}-ს.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

მიუმატეთ \frac{2}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$