გადაწყვიტეთ 3n^2+10n=8

$$3 n ^ { 2 } + 10 n = 8$$

ამოხსნა n-ისთვის

$$n=-4$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 8 ორივე მხარეს.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 3n^{2}+an+bn-8. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 10.

$$a=-2 b=12$$

ხელახლა დაწერეთ 3n^{2}+10n-8, როგორც \left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right).

$$\left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)$$

n-ის პირველ, 4-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$n\left(3n-2\right)+4\left(3n-2\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 3n-2 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(3n-2\right)\left(n+4\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 3n-2=0 და n+4=0.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3n^{2}+10n=8$$

გამოაკელით 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3n^{2}+10n-8=8-8$$

8-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, 10-ით b და -8-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში 10.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -8.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 100 96-ს.

$$n=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

აიღეთ 196-ის კვადრატული ფესვი.

$$n=\frac{-10±14}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$n=\frac{-10±14}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება n=\frac{-10±14}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -10 14-ს.

$$n=\frac{4}{6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{4}{6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$n=\frac{2}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება n=\frac{-10±14}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 14 -10-ს.

$$n=-\frac{24}{6}$$

გაყავით -24 6-ზე.

$$n=-4$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+10n=8$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3n^{2}+10n}{3}=\frac{8}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n=\frac{8}{3}$$

გაყავით \frac{10}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{5}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{5}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{5}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

მიუმატეთ \frac{8}{3} \frac{25}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$n+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} n+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

გამოაკელით \frac{5}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$