გადაწყვიტეთ 3-xsqrt{6}-xsqrt{2}-x^2+x^2sqrt{6}+2x^2+2+4x+2=0

$$3 - x \sqrt { 6 } - x \sqrt { 2 } - x ^ { 2 } + x ^ { 2 } \sqrt { 6 } + 2 x ^ { 2 } + 2 + 4 x + 2 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{\left(\sqrt{6}-1\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}-4+2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}\right)}{10}\approx -0.019756066+1.424392972i$$

$$x=\frac{\left(\sqrt{6}-1\right)\left(-2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}+\sqrt{2}+\sqrt{6}-4\right)}{10}\approx -0.019756066-1.424392972i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

დააჯგუფეთ -x^{2} და 2x^{2}, რათა მიიღოთ x^{2}.

$$3-x\sqrt{6}-x\sqrt{2}+x^{2}+x^{2}\sqrt{6}+2+4x+2=0$$

შეკრიბეთ 2 და 2, რათა მიიღოთ 4.

$$3-x\sqrt{6}-x\sqrt{2}+x^{2}+x^{2}\sqrt{6}+4+4x=0$$

შეკრიბეთ 3 და 4, რათა მიიღოთ 7.

$$7-x\sqrt{6}-x\sqrt{2}+x^{2}+x^{2}\sqrt{6}+4x=0$$

დააჯგუფეთ ყველა წევრი, რომელიც შეიცავს შემდეგს: x.

$$7+\left(-\sqrt{6}-\sqrt{2}+4\right)x+\left(1+\sqrt{6}\right)x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$\left(\sqrt{6}+1\right)x^{2}+\left(4-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)x+7=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1+\sqrt{6}-ით a, -\sqrt{6}-\sqrt{2}+4-ით b და 7-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(4-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)±\sqrt{\left(4-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)^{2}-4\left(\sqrt{6}+1\right)\times 7}}{2\left(\sqrt{6}+1\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\sqrt{6}-\sqrt{2}+4.

$$x=\frac{-\left(4-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)±\sqrt{4\sqrt{3}+24-8\sqrt{2}-8\sqrt{6}-4\left(\sqrt{6}+1\right)\times 7}}{2\left(\sqrt{6}+1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 1+\sqrt{6}.

$$x=\frac{-\left(4-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)±\sqrt{4\sqrt{3}+24-8\sqrt{2}-8\sqrt{6}+\left(-4\sqrt{6}-4\right)\times 7}}{2\left(\sqrt{6}+1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-4\sqrt{6}-ზე 7.

$$x=\frac{-\left(4-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)±\sqrt{4\sqrt{3}+24-8\sqrt{2}-8\sqrt{6}-28\sqrt{6}-28}}{2\left(\sqrt{6}+1\right)}$$

მიუმატეთ 24-8\sqrt{6}+4\sqrt{3}-8\sqrt{2} -28-28\sqrt{6}-ს.

$$x=\frac{-\left(4-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)±\sqrt{4\sqrt{3}-8\sqrt{2}-36\sqrt{6}-4}}{2\left(\sqrt{6}+1\right)}$$

აიღეთ -4-36\sqrt{6}+4\sqrt{3}-8\sqrt{2}-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(4-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)±2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}}{2\left(\sqrt{6}+1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 1+\sqrt{6}.

$$x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}-4±2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}}{2\sqrt{6}+2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}-4±2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}}{2\sqrt{6}+2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ \sqrt{6}+\sqrt{2}-4 2i\sqrt{1+9\sqrt{6}-\sqrt{3}+2\sqrt{2}}-ს.

$$x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}-4+2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}}{2\sqrt{6}+2}$$

გაყავით \sqrt{6}+\sqrt{2}-4+2i\sqrt{1+9\sqrt{6}-\sqrt{3}+2\sqrt{2}} 2+2\sqrt{6}-ზე.

$$x=\frac{\left(\sqrt{6}-1\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}-4+2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}\right)}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}-4±2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}}{2\sqrt{6}+2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2i\sqrt{1+9\sqrt{6}-\sqrt{3}+2\sqrt{2}} \sqrt{6}+\sqrt{2}-4-ს.

$$x=\frac{-2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}+\sqrt{2}+\sqrt{6}-4}{2\sqrt{6}+2}$$

გაყავით \sqrt{6}+\sqrt{2}-4-2i\sqrt{1+9\sqrt{6}-\sqrt{3}+2\sqrt{2}} 2+2\sqrt{6}-ზე.

$$x=\frac{\left(\sqrt{6}-1\right)\left(-2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}+\sqrt{2}+\sqrt{6}-4\right)}{10}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\left(\sqrt{6}-1\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{6}-4+2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}\right)}{10} x=\frac{\left(\sqrt{6}-1\right)\left(-2i\sqrt{2\sqrt{2}+9\sqrt{6}+1-\sqrt{3}}+\sqrt{2}+\sqrt{6}-4\right)}{10}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

დააჯგუფეთ -x^{2} და 2x^{2}, რათა მიიღოთ x^{2}.

$$3-x\sqrt{6}-x\sqrt{2}+x^{2}+x^{2}\sqrt{6}+2+4x+2=0$$

შეკრიბეთ 2 და 2, რათა მიიღოთ 4.

$$3-x\sqrt{6}-x\sqrt{2}+x^{2}+x^{2}\sqrt{6}+4+4x=0$$

გამოაკელით 4 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$3-x\sqrt{6}-x\sqrt{2}+x^{2}+x^{2}\sqrt{6}+4x=-4$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს.

$$-x\sqrt{6}-x\sqrt{2}+x^{2}+x^{2}\sqrt{6}+4x=-4-3$$

გამოაკელით 3 -4-ს -7-ის მისაღებად.

$$-x\sqrt{6}-x\sqrt{2}+x^{2}+x^{2}\sqrt{6}+4x=-7$$

დააჯგუფეთ ყველა წევრი, რომელიც შეიცავს შემდეგს: x.

$$\left(-\sqrt{6}-\sqrt{2}+4\right)x+\left(1+\sqrt{6}\right)x^{2}=-7$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$\left(\sqrt{6}+1\right)x^{2}+\left(4-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)x=-7$$

ორივე მხარე გაყავით 1+\sqrt{6}-ზე.

$$\frac{\left(\sqrt{6}+1\right)x^{2}+\left(4-\sqrt{2}-\sqrt{6}\right)x}{\sqrt{6}+1}=-\frac{7}{\sqrt{6}+1}$$

1+\sqrt{6}-ზე გაყოფა აუქმებს 1+\sqrt{6}-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{4-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{\sqrt{6}+1}x=-\frac{7}{\sqrt{6}+1}$$

გაყავით -\sqrt{6}-\sqrt{2}+4 1+\sqrt{6}-ზე.

$$x^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{5}-\frac{2\sqrt{3}}{5}+\sqrt{6}-2\right)x=-\frac{7}{\sqrt{6}+1}$$

გაყავით -7 1+\sqrt{6}-ზე.

$$x^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{5}-\frac{2\sqrt{3}}{5}+\sqrt{6}-2\right)x=\frac{7-7\sqrt{6}}{5}$$

გაყავით -2+\sqrt{6}-\frac{2\sqrt{3}}{5}+\frac{\sqrt{2}}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -1+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}+\frac{\sqrt{2}}{10}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -1+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}+\frac{\sqrt{2}}{10}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{5}-\frac{2\sqrt{3}}{5}+\sqrt{6}-2\right)x+\left(\frac{\sqrt{2}}{10}+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}-1\right)^{2}=\frac{7-7\sqrt{6}}{5}+\left(\frac{\sqrt{2}}{10}+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}-1\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -1+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}+\frac{\sqrt{2}}{10}.

$$x^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{5}-\frac{2\sqrt{3}}{5}+\sqrt{6}-2\right)x+\frac{3\sqrt{3}}{5}-\frac{4\sqrt{2}}{5}-\frac{26\sqrt{6}}{25}+\frac{66}{25}=\frac{7-7\sqrt{6}}{5}+\frac{3\sqrt{3}}{5}-\frac{4\sqrt{2}}{5}-\frac{26\sqrt{6}}{25}+\frac{66}{25}$$

მიუმატეთ \frac{-7\sqrt{6}+7}{5} \frac{66}{25}-\frac{26\sqrt{6}}{25}+\frac{3\sqrt{3}}{5}-\frac{4\sqrt{2}}{5}-ს.

$$x^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{5}-\frac{2\sqrt{3}}{5}+\sqrt{6}-2\right)x+\frac{3\sqrt{3}}{5}-\frac{4\sqrt{2}}{5}-\frac{26\sqrt{6}}{25}+\frac{66}{25}=\frac{3\sqrt{3}}{5}-\frac{4\sqrt{2}}{5}-\frac{61\sqrt{6}}{25}+\frac{101}{25}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{5}-\frac{2\sqrt{3}}{5}+\sqrt{6}-2\right)x+\frac{3\sqrt{3}}{5}-\frac{4\sqrt{2}}{5}-\frac{26\sqrt{6}}{25}+\frac{66}{25}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{\sqrt{2}}{10}+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}-1\right)^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{5}-\frac{4\sqrt{2}}{5}-\frac{61\sqrt{6}}{25}+\frac{101}{25}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{\sqrt{2}}{10}+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3\sqrt{3}}{5}-\frac{4\sqrt{2}}{5}-\frac{61\sqrt{6}}{25}+\frac{101}{25}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{\sqrt{2}}{10}+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}-1=\frac{i\sqrt{-\left(15\sqrt{3}+101-20\sqrt{2}-61\sqrt{6}\right)}}{5} x+\frac{\sqrt{2}}{10}+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}-1=-\frac{i\sqrt{20\sqrt{2}+61\sqrt{6}-15\sqrt{3}-101}}{5}$$

გამოაკელით -1+\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{5}+\frac{\sqrt{2}}{10} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{i\sqrt{20\sqrt{2}+61\sqrt{6}-15\sqrt{3}-101}}{5}+\frac{\sqrt{3}}{5}-\frac{\sqrt{2}}{10}-\frac{\sqrt{6}}{2}+1 x=-\frac{i\sqrt{20\sqrt{2}+61\sqrt{6}-15\sqrt{3}-101}}{5}+\frac{\sqrt{3}}{5}-\frac{\sqrt{2}}{10}-\frac{\sqrt{6}}{2}+1$$