გადაწყვიტეთ 3-2x=ytext{and}3x+y=-3

$$3 - 2 x = y \text { and } 3 x + y = - 3$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-6$$

$$y=15$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$3-2x-y=0$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$-2x-y=-3$$

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$-2x-y=-3,3x+y=-3$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$-2x-y=-3$$

მიუმატეთ y განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x=y-3$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$x=-\frac{1}{2}\left(y-3\right)$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე y-3.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{-y+3}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 3x+y=-3.

$$3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}\right)+y=-3$$

გაამრავლეთ 3-ზე \frac{-y+3}{2}.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{9}{2}+y=-3$$

მიუმატეთ -\frac{3y}{2} y-ს.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}=-3$$

გამოაკელით \frac{9}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{1}{2}y=-\frac{15}{2}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -2-ზე.

$$y=15$$

ჩაანაცვლეთ 15-ით y აქ: x=-\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 15+\frac{3}{2}$$

გაამრავლეთ -\frac{1}{2}-ზე 15.

$$x=\frac{-15+3}{2}$$

მიუმატეთ \frac{3}{2} -\frac{15}{2}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=-6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-6,y=15$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$3-2x-y=0$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$-2x-y=-3$$

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$-2x-y=-3,3x+y=-3$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}-2&-1\\3&1\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{-2-\left(-3\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-3\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3-3\\-3\left(-3\right)-2\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\15\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=-6,y=15$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

განიხილეთ პირველი განტოლება. გამოაკელით y ორივე მხარეს.

$$3-2x-y=0$$

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$-2x-y=-3$$

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$-2x-y=-3,3x+y=-3$$

იმისათვის, რომ -2x და 3x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 3-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს -2-ზე.

$$3\left(-2\right)x+3\left(-1\right)y=3\left(-3\right),-2\times 3x-2y=-2\left(-3\right)$$

გაამარტივეთ.

$$-6x-3y=-9,-6x-2y=6$$

გამოაკელით -6x-2y=6 -6x-3y=-9-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$-6x+6x-3y+2y=-9-6$$

მიუმატეთ -6x 6x-ს. პირობები -6x და 6x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-3y+2y=-9-6$$

მიუმატეთ -3y 2y-ს.

$$-y=-9-6$$

მიუმატეთ -9 -6-ს.

$$-y=-15$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$y=15$$

ჩაანაცვლეთ 15-ით y აქ: 3x+y=-3. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$3x+15=-3$$

გამოაკელით 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x=-18$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$x=-6$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-6,y=15$$