გადაწყვიტეთ 3z^2+9z+6=0

$$3 { z }^{ 2 } +9z+6=0$$

ამოხსნა z-ისთვის

$$z=-2$$

$$z=-1$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$z^{2}+3z+2=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც z^{2}+az+bz+2. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. ერთადერთი ასეთი წყვილი არის სისტემის ამონახსნი.

$$a=1 b=2$$

ხელახლა დაწერეთ z^{2}+3z+2, როგორც \left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right).

$$\left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right)$$

z-ის პირველ, 2-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$z\left(z+1\right)+2\left(z+1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი z+1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(z+1\right)\left(z+2\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით z+1=0 და z+2=0.

$$z=-1 z=-2$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, 9-ით b და 6-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში 9.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 6}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე 6.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 81 -72-ს.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 3}$$

აიღეთ 9-ის კვადრატული ფესვი.

$$z=\frac{-9±3}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$z=\frac{-9±3}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება z=\frac{-9±3}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -9 3-ს.

$$z=-\frac{6}{6}$$

გაყავით -6 6-ზე.

$$z=-1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება z=\frac{-9±3}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 3 -9-ს.

$$z=-\frac{12}{6}$$

გაყავით -12 6-ზე.

$$z=-2$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$z=-1 z=-2$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3z^{2}+9z+6-6=-6$$

6-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3z^{2}+9z=-6$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3z^{2}+9z}{3}=-\frac{6}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$z^{2}+\frac{9}{3}z=-\frac{6}{3}$$

გაყავით 9 3-ზე.

$$z^{2}+3z=-\frac{6}{3}$$

გაყავით -6 3-ზე.

$$z^{2}+3z=-2$$

გაყავით 3, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

მიუმატეთ -2 \frac{9}{4}-ს.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად z^{2}+3z+\frac{9}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$z+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

გამოაკელით \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$z=-1 z=-2$$