გადაწყვიტეთ 3x^2-5x-372=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-372=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3} \approx -10.333333333$$

$$x=12$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 3x^{2}+ax+bx-372. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-5 ab=3\left(-372\right)=-1116$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -1116.

$$1,-1116 2,-558 3,-372 4,-279 6,-186 9,-124 12,-93 18,-62 31,-36$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-1116=-1115 2-558=-556 3-372=-369 4-279=-275 6-186=-180 9-124=-115 12-93=-81 18-62=-44 31-36=-5$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -5.

$$a=-36 b=31$$

ხელახლა დაწერეთ 3x^{2}-5x-372, როგორც \left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right)$$

3x-ის პირველ, 31-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$3x\left(x-12\right)+31\left(x-12\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-12 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-12\right)\left(3x+31\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-12=0 და 3x+31=0.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, -5-ით b და -372-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -372.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4464}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 25 4464-ს.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

აიღეთ 4489-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±67}{2\times 3}$$

-5-ის საპირისპიროა 5.

$$x=\frac{5±67}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{5±67}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{5±67}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 5 67-ს.

$$x=\frac{72}{6}$$

გაყავით 72 6-ზე.

$$x=12$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{5±67}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 67 5-ს.

$$x=-\frac{62}{6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-62}{6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{31}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

მიუმატეთ 372 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}-5x-372-\left(-372\right)=-\left(-372\right)$$

-372-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-372\right)$$

გამოაკელით -372 0-ს.

$$3x^{2}-5x=372$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{372}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{372}{3}$$

გაყავით 372 3-ზე.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=124$$

გაყავით -\frac{5}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{5}{6}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{5}{6}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=124+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{5}{6} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=124+\frac{25}{36}$$

მიუმატეთ 124 \frac{25}{36}-ს.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4489}{36}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{67}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{67}{6}$$

მიუმატეთ \frac{5}{6} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$