გადაწყვიტეთ 3x^2-5x-250=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-250=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{25}{3} = -8\frac{1}{3} \approx -8.333333333$$

$$x=10$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 3x^{2}+ax+bx-250. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-5 ab=3\left(-250\right)=-750$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -750.

$$1,-750 2,-375 3,-250 5,-150 6,-125 10,-75 15,-50 25,-30$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-750=-749 2-375=-373 3-250=-247 5-150=-145 6-125=-119 10-75=-65 15-50=-35 25-30=-5$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -5.

$$a=-30 b=25$$

ხელახლა დაწერეთ 3x^{2}-5x-250, როგორც \left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right)$$

3x-ის პირველ, 25-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$3x\left(x-10\right)+25\left(x-10\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-10 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-10\right)\left(3x+25\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-10=0 და 3x+25=0.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, -5-ით b და -250-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -250.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+3000}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 25 3000-ს.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{3025}}{2\times 3}$$

აიღეთ 3025-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±55}{2\times 3}$$

-5-ის საპირისპიროა 5.

$$x=\frac{5±55}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{5±55}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{5±55}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 5 55-ს.

$$x=\frac{60}{6}$$

გაყავით 60 6-ზე.

$$x=10$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{5±55}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 55 5-ს.

$$x=-\frac{50}{6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-50}{6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{25}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

მიუმატეთ 250 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}-5x-250-\left(-250\right)=-\left(-250\right)$$

-250-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-250\right)$$

გამოაკელით -250 0-ს.

$$3x^{2}-5x=250$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{250}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{250}{3}$$

გაყავით -\frac{5}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{5}{6}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{5}{6}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{250}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{5}{6} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{250}{3}+\frac{25}{36}$$

მიუმატეთ \frac{250}{3} \frac{25}{36}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{3025}{36}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{3025}{36}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3025}{36}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{55}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{55}{6}$$

მიუმატეთ \frac{5}{6} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$