გადაწყვიტეთ 3x^2-5x+42=10

$$3 { x }^{ 2 } -5x+42 = 10$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{359}i}{6}\approx 0.833333333+3.157882554i$$

$$x=\frac{-\sqrt{359}i+5}{6}\approx 0.833333333-3.157882554i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}-5x+42=10$$

გამოაკელით 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}-5x+42-10=10-10$$

10-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}-5x+42-10=0$$

გამოაკელით 10 42-ს.

$$3x^{2}-5x+32=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, -5-ით b და 32-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\times 32}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\times 32}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\times 32}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე 32.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-384}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 25 -384-ს.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-359}}{2\times 3}$$

აიღეთ -359-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{359}i}{2\times 3}$$

-5-ის საპირისპიროა 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{359}i}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{5±\sqrt{359}i}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{5±\sqrt{359}i}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 5 i\sqrt{359}-ს.

$$x=\frac{5+\sqrt{359}i}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{5±\sqrt{359}i}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{359} 5-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{359}i+5}{6}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5+\sqrt{359}i}{6} x=\frac{-\sqrt{359}i+5}{6}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x+42=10$$

გამოაკელით 42 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}-5x+42-42=10-42$$

42-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}-5x=10-42$$

გამოაკელით 42 10-ს.

$$3x^{2}-5x=-32$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=-\frac{32}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{32}{3}$$

გაყავით -\frac{5}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{5}{6}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{5}{6}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{32}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{5}{6} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{32}{3}+\frac{25}{36}$$

მიუმატეთ -\frac{32}{3} \frac{25}{36}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{359}{36}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{359}{36}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{359}{36}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{359}i}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{359}i}{6}$$

მიუმატეთ \frac{5}{6} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{5+\sqrt{359}i}{6} x=\frac{-\sqrt{359}i+5}{6}$$