გადაწყვიტეთ 3x^2-4x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -4x-9=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{31} + 2}{3} \approx 2.522588121$$

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}\approx -1.189254788$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, -4-ით b და -9-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+108}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 16 108-ს.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{124}}{2\times 3}$$

აიღეთ 124-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

-4-ის საპირისპიროა 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 4 2\sqrt{31}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{31}+4}{6}$$

გაყავით 4+2\sqrt{31} 6-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{31} 4-ს.

$$x=\frac{4-2\sqrt{31}}{6}$$

გაყავით 4-2\sqrt{31} 6-ზე.

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

მიუმატეთ 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}-4x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

-9-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}-4x=-\left(-9\right)$$

გამოაკელით -9 0-ს.

$$3x^{2}-4x=9$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=\frac{9}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{9}{3}$$

გაყავით 9 3-ზე.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=3$$

გაყავით -\frac{4}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{2}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{2}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{2}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=3+\frac{4}{9}$$

მიუმატეთ 3 \frac{4}{9}-ს.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{31}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{31}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{31}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{31}}{3}$$

მიუმატეთ \frac{2}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$