გადაწყვიტეთ 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=12$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 3x^{2}+ax+bx-60. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -31.

$$a=-36 b=5$$

ხელახლა დაწერეთ 3x^{2}-31x-60, როგორც \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

3x-ის პირველ, 5-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-12 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-12=0 და 3x+5=0.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, -31-ით b და -60-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში -31.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 961 720-ს.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

აიღეთ 1681-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

-31-ის საპირისპიროა 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{31±41}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 31 41-ს.

$$x=\frac{72}{6}$$

გაყავით 72 6-ზე.

$$x=12$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{31±41}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 41 31-ს.

$$x=-\frac{10}{6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-10}{6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{5}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

მიუმატეთ 60 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

-60-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

გამოაკელით -60 0-ს.

$$3x^{2}-31x=60$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

გაყავით 60 3-ზე.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

გაყავით -\frac{31}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{31}{6}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{31}{6}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{31}{6} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

მიუმატეთ 20 \frac{961}{36}-ს.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

მიუმატეთ \frac{31}{6} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$