გადაწყვიტეთ 3x^2-2x-9=0

$$3 { x }^{ 2 } -2x-9 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{2 \sqrt{7} + 1}{3} \approx 2.097167541$$

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}\approx -1.430500874$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, -2-ით b და -9-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+108}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 4 108-ს.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{112}}{2\times 3}$$

აიღეთ 112-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

-2-ის საპირისპიროა 2.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 2 4\sqrt{7}-ს.

$$x=\frac{4\sqrt{7}+2}{6}$$

გაყავით 2+4\sqrt{7} 6-ზე.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±4\sqrt{7}}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4\sqrt{7} 2-ს.

$$x=\frac{2-4\sqrt{7}}{6}$$

გაყავით 2-4\sqrt{7} 6-ზე.

$$x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-9=0$$

მიუმატეთ 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}-2x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

-9-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-9\right)$$

გამოაკელით -9 0-ს.

$$3x^{2}-2x=9$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{9}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{9}{3}$$

გაყავით 9 3-ზე.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=3$$

გაყავით -\frac{2}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=3+\frac{1}{9}$$

მიუმატეთ 3 \frac{1}{9}-ს.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{28}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{28}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{7}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{7}}{3}$$

მიუმატეთ \frac{1}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+1}{3} x=\frac{1-2\sqrt{7}}{3}$$