გადაწყვიტეთ 3x^2-2x+9=0

$$3 { x }^{ 2 } -2x+9 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3}\approx 0.333333333+1.699673171i$$

$$x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}\approx 0.333333333-1.699673171i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}-2x+9=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, -2-ით b და 9-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 9}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე 9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-108}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 4 -108-ს.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-104}}{2\times 3}$$

აიღეთ -104-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{26}i}{2\times 3}$$

-2-ის საპირისპიროა 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 2 2i\sqrt{26}-ს.

$$x=\frac{2+2\sqrt{26}i}{6}$$

გაყავით 2+2i\sqrt{26} 6-ზე.

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±2\sqrt{26}i}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2i\sqrt{26} 2-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{26}i+2}{6}$$

გაყავით 2-2i\sqrt{26} 6-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3} x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x+9=0$$

გამოაკელით 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}-2x+9-9=-9$$

9-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}-2x=-9$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{9}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{9}{3}$$

გაყავით -9 3-ზე.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-3$$

გაყავით -\frac{2}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-3+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-3+\frac{1}{9}$$

მიუმატეთ -3 \frac{1}{9}-ს.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{26}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{26}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{26}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{26}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{26}i}{3}$$

მიუმატეთ \frac{1}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1+\sqrt{26}i}{3} x=\frac{-\sqrt{26}i+1}{3}$$