გადაწყვიტეთ 3x^2-14x-5=0

$$3 { x }^{ 2 } -14x-5=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

$$x=5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 3x^{2}+ax+bx-5. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-14 ab=3\left(-5\right)=-15$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -15.

$$1,-15 3,-5$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-15=-14 3-5=-2$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -14.

$$a=-15 b=1$$

ხელახლა დაწერეთ 3x^{2}-14x-5, როგორც \left(3x^{2}-15x\right)+\left(x-5\right).

$$\left(3x^{2}-15x\right)+\left(x-5\right)$$

მამრავლებად დაშალეთ 3x 3x^{2}-15x-ში.

$$3x\left(x-5\right)+x-5$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-5 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-5\right)\left(3x+1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-5=0 და 3x+1=0.

$$x=5 x=-\frac{1}{3}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}-14x-5=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, -14-ით b და -5-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 3\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-12\left(-5\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -5.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+60}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 196 60-ს.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{256}}{2\times 3}$$

აიღეთ 256-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±16}{2\times 3}$$

-14-ის საპირისპიროა 14.

$$x=\frac{14±16}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{14±16}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{14±16}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 14 16-ს.

$$x=\frac{30}{6}$$

გაყავით 30 6-ზე.

$$x=5$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{14±16}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 16 14-ს.

$$x=-\frac{2}{6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-2}{6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{1}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=5 x=-\frac{1}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-14x-5=0$$

მიუმატეთ 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}-14x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

-5-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}-14x=-\left(-5\right)$$

გამოაკელით -5 0-ს.

$$3x^{2}-14x=5$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}-14x}{3}=\frac{5}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x=\frac{5}{3}$$

გაყავით -\frac{14}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{7}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{7}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x+\left(-\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{5}{3}+\left(-\frac{7}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{7}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{5}{3}+\frac{49}{9}$$

მიუმატეთ \frac{5}{3} \frac{49}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{64}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{7}{3}=\frac{8}{3} x-\frac{7}{3}=-\frac{8}{3}$$

მიუმატეთ \frac{7}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=5 x=-\frac{1}{3}$$