გადაწყვიტეთ 3x^2-10x-8=0

$$3 { x }^{ 2 } -10x-8=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=4$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 3x^{2}+ax+bx-8. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -10.

$$a=-12 b=2$$

ხელახლა დაწერეთ 3x^{2}-10x-8, როგორც \left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right).

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(2x-8\right)$$

3x-ის პირველ, 2-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$3x\left(x-4\right)+2\left(x-4\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-4 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-4\right)\left(3x+2\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-4=0 და 3x+2=0.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, -10-ით b და -8-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე -8.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 100 96-ს.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

აიღეთ 196-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±14}{2\times 3}$$

-10-ის საპირისპიროა 10.

$$x=\frac{10±14}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{10±14}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{10±14}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 10 14-ს.

$$x=\frac{24}{6}$$

გაყავით 24 6-ზე.

$$x=4$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{10±14}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 14 10-ს.

$$x=-\frac{4}{6}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-4}{6} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{2}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-10x-8=0$$

მიუმატეთ 8 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}-10x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

-8-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}-10x=-\left(-8\right)$$

გამოაკელით -8 0-ს.

$$3x^{2}-10x=8$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}-10x}{3}=\frac{8}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{8}{3}$$

გაყავით -\frac{10}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{5}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{5}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{5}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

მიუმატეთ \frac{8}{3} \frac{25}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

მიუმატეთ \frac{5}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=4 x=-\frac{2}{3}$$