გადაწყვიტეთ 3x^2+5x+6=0

$$3 { x }^{ 2 } +5x+6=0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{47}i}{6}\approx -0.833333333+1.1426091i$$

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-5}{6}\approx -0.833333333-1.1426091i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}+5x+6=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, 5-ით b და 6-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\times 6}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე 6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-72}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 25 -72-ს.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-47}}{2\times 3}$$

აიღეთ -47-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-5±\sqrt{47}i}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{47}i}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-5±\sqrt{47}i}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -5 i\sqrt{47}-ს.

$$x=\frac{-5+\sqrt{47}i}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-5±\sqrt{47}i}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{47} -5-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-5}{6}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-5+\sqrt{47}i}{6} x=\frac{-\sqrt{47}i-5}{6}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x+6=0$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+5x+6-6=-6$$

6-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}+5x=-6$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=-\frac{6}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{6}{3}$$

გაყავით -6 3-ზე.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-2$$

გაყავით \frac{5}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{5}{6}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{5}{6}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-2+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{5}{6} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-2+\frac{25}{36}$$

მიუმატეთ -2 \frac{25}{36}-ს.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{47}{36}$$

მამრავლებად დაშალეთ x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. საერთოდ, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა შემდეგნაირად: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{47}{36}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{47}{36}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{47}i}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{47}i}{6}$$

გამოაკელით \frac{5}{6} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-5+\sqrt{47}i}{6} x=\frac{-\sqrt{47}i-5}{6}$$