გადაწყვიტეთ 3x^2+4x+3=0

$$3 { x }^{ 2 } +4x+3=0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{5}i}{3}\approx -0.666666667+0.745355992i$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}i-2}{3}\approx -0.666666667-0.745355992i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}+4x+3=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, 4-ით b და 3-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3\times 3}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3\times 3}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12\times 3}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-36}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 16 -36-ს.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-20}}{2\times 3}$$

აიღეთ -20-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{5}i}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±2\sqrt{5}i}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -4 2i\sqrt{5}-ს.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{5}i}{6}$$

გაყავით -4+2i\sqrt{5} 6-ზე.

$$x=\frac{-2+\sqrt{5}i}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-4±2\sqrt{5}i}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2i\sqrt{5} -4-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i-4}{6}$$

გაყავით -4-2i\sqrt{5} 6-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{5}i-2}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-2+\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-\sqrt{5}i-2}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+4x+3=0$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+4x+3-3=-3$$

3-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}+4x=-3$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=-\frac{3}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{3}{3}$$

გაყავით -3 3-ზე.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-1$$

გაყავით \frac{4}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{2}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{2}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-1+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{2}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-1+\frac{4}{9}$$

მიუმატეთ -1 \frac{4}{9}-ს.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{5}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{5}i}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{5}i}{3}$$

გამოაკელით \frac{2}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-2+\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-\sqrt{5}i-2}{3}$$