გადაწყვიტეთ 3x^2+3x+5=0

$$3 { x }^{ 2 } +3x+5=0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0.5+1.190238071i$$

$$x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0.5-1.190238071i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}+3x+5=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, 3-ით b და 5-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-12\times 5}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-60}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 9 -60-ს.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-51}}{2\times 3}$$

აიღეთ -51-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -3 i\sqrt{51}-ს.

$$x=\frac{-3+\sqrt{51}i}{6}$$

გაყავით -3+i\sqrt{51} 6-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{51} -3-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i-3}{6}$$

გაყავით -3-i\sqrt{51} 6-ზე.

$$x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+3x+5=0$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+3x+5-5=-5$$

5-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}+3x=-5$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}+3x}{3}=-\frac{5}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{3}{3}x=-\frac{5}{3}$$

გაყავით 3 3-ზე.

$$x^{2}+x=-\frac{5}{3}$$

გაყავით 1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{5}{3}+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ -\frac{5}{3} \frac{1}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{17}{12}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+x+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{17}{12}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{12}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{51}i}{6} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{51}i}{6}$$

გამოაკელით \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2} x=-\frac{\sqrt{51}i}{6}-\frac{1}{2}$$