გადაწყვიტეთ 3x^2+2x+15=9

$$3 { x }^{ 2 } +2x+15=9$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3}\approx -0.333333333+1.374368542i$$

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}\approx -0.333333333-1.374368542i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}+2x+15=9$$

გამოაკელით 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+2x+15-9=9-9$$

9-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}+2x+15-9=0$$

გამოაკელით 9 15-ს.

$$3x^{2}+2x+6=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, 2-ით b და 6-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12\times 6}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე 6.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-72}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 4 -72-ს.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-68}}{2\times 3}$$

აიღეთ -68-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -2 2i\sqrt{17}-ს.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{17}i}{6}$$

გაყავით -2+2i\sqrt{17} 6-ზე.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±2\sqrt{17}i}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2i\sqrt{17} -2-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{17}i-2}{6}$$

გაყავით -2-2i\sqrt{17} 6-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x+15=9$$

გამოაკელით 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+2x+15-15=9-15$$

15-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}+2x=9-15$$

გამოაკელით 15 9-ს.

$$3x^{2}+2x=-6$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{6}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{6}{3}$$

გაყავით -6 3-ზე.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-2$$

გაყავით \frac{2}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-2+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-2+\frac{1}{9}$$

მიუმატეთ -2 \frac{1}{9}-ს.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{17}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{17}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{17}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{17}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{17}i}{3}$$

გამოაკელით \frac{1}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-1+\sqrt{17}i}{3} x=\frac{-\sqrt{17}i-1}{3}$$