გადაწყვიტეთ 3x^2+11x=-24

$$3 { x }^{ 2 } +11x = -24$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}\approx -1.833333333+2.153807997i$$

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}\approx -1.833333333-2.153807997i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$3x^{2}+11x=-24$$

მიუმატეთ 24 განტოლების ორივე მხარეს.

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=-24-\left(-24\right)$$

-24-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$3x^{2}+11x-\left(-24\right)=0$$

გამოაკელით -24 0-ს.

$$3x^{2}+11x+24=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 3-ით a, 11-ით b და 24-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

აიყვანეთ კვადრატში 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 3\times 24}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-12\times 24}}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ -12-ზე 24.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-288}}{2\times 3}$$

მიუმატეთ 121 -288-ს.

$$x=\frac{-11±\sqrt{-167}}{2\times 3}$$

აიღეთ -167-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{2\times 3}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -11 i\sqrt{167}-ს.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-11±\sqrt{167}i}{6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{167} -11-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+11x=-24$$

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\frac{3x^{2}+11x}{3}=-\frac{24}{3}$$

3-ზე გაყოფა აუქმებს 3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-\frac{24}{3}$$

გაყავით -24 3-ზე.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x=-8$$

გაყავით \frac{11}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{11}{6}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{11}{6}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}=-8+\left(\frac{11}{6}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{11}{6} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-8+\frac{121}{36}$$

მიუმატეთ -8 \frac{121}{36}-ს.

$$x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}=-\frac{167}{36}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{11}{3}x+\frac{121}{36}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}=-\frac{167}{36}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{167}{36}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{11}{6}=\frac{\sqrt{167}i}{6} x+\frac{11}{6}=-\frac{\sqrt{167}i}{6}$$

გამოაკელით \frac{11}{6} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-11+\sqrt{167}i}{6} x=\frac{-\sqrt{167}i-11}{6}$$