გადაწყვიტეთ 3left(x-4right)^3=-375

$$3 { \left(x-4 \right) }^{ 3 } = -375$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=-1$$

$$x=\frac{13+5\sqrt{3}i}{2}\approx 6.5+4.330127019i$$

$$x=\frac{-5\sqrt{3}i+13}{2}\approx 6.5-4.330127019i$$

ამონახსნის ეტაპები

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\left(x-4\right)^{3}=\frac{-375}{3}$$

გაყავით -375 3-ზე -125-ის მისაღებად.

$$\left(x-4\right)^{3}=-125$$

\left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x-4\right)^{3}-ის გასაშლელად.

$$x^{3}-12x^{2}+48x-64=-125$$

დაამატეთ 125 ორივე მხარეს.

$$x^{3}-12x^{2}+48x-64+125=0$$

შეკრიბეთ -64 და 125, რათა მიიღოთ 61.

$$x^{3}-12x^{2}+48x+61=0$$

რაციონალური ფესვების შესახებ თეორემის მიხედვით, მრავალწევრის ყველა რაციონალური ფესვი არის ფორმაში \frac{p}{q}, სადაც p ყოფს თავისუფალ წევრს61 და q ყოფს უფროს კოეფიციენტს 1. ჩამოთვალეთ ყველა შესაძლო ამონახსნი \frac{p}{q}.

$$±61,±1$$

იპოვნეთ ერთი ასეთი ფესვი ყველა მთელი რიცხვის მნიშვნელობის გადარჩევით, დაწყებული პატარადან, აბსოლუტური მნიშვნელობის მიხედვით. თუ მთელი რიცხვითი ფესვები ნაპოვნი არ არის, სცადეთ წილადები.

$$x=-1$$

ბეზუს თეორემის მიხედვით, x-k არის მრავალწევრის მამრავლი თითოეული ფესვისთვის k. გაყავით x^{3}-12x^{2}+48x+61 x+1-ზე x^{2}-13x+61-ის მისაღებად. ამოხსენით განტოლება, სადაც შედეგი უდრის 0.

$$x^{2}-13x+61=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ჩაანაცვლეთ 1 a-თვის, -13 b-თვის და 61 c-თვის კვადრატულ ფორმულაში.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 1\times 61}}{2}$$

შეასრულეთ გამოთვლები.

$$x=\frac{13±\sqrt{-75}}{2}$$

ამოხსენით განტოლება x^{2}-13x+61=0, როცა ± არის პლუსი და როცა ± არის მინუსი.

$$x=\frac{-5i\sqrt{3}+13}{2} x=\frac{13+5i\sqrt{3}}{2}$$

ჩამოთვალეთ ყველა ნაპოვნი ამოხსნა.

$$x=-1 x=\frac{-5i\sqrt{3}+13}{2} x=\frac{13+5i\sqrt{3}}{2}$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-1$$

ამონახსნის ეტაპები

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$\left(x-4\right)^{3}=\frac{-375}{3}$$

გაყავით -375 3-ზე -125-ის მისაღებად.

$$\left(x-4\right)^{3}=-125$$

\left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x-4\right)^{3}-ის გასაშლელად.

$$x^{3}-12x^{2}+48x-64=-125$$

დაამატეთ 125 ორივე მხარეს.

$$x^{3}-12x^{2}+48x-64+125=0$$

შეკრიბეთ -64 და 125, რათა მიიღოთ 61.

$$x^{3}-12x^{2}+48x+61=0$$

რაციონალური ფესვების შესახებ თეორემის მიხედვით, მრავალწევრის ყველა რაციონალური ფესვი არის ფორმაში \frac{p}{q}, სადაც p ყოფს თავისუფალ წევრს61 და q ყოფს უფროს კოეფიციენტს 1. ჩამოთვალეთ ყველა შესაძლო ამონახსნი \frac{p}{q}.

$$±61,±1$$

იპოვნეთ ერთი ასეთი ფესვი ყველა მთელი რიცხვის მნიშვნელობის გადარჩევით, დაწყებული პატარადან, აბსოლუტური მნიშვნელობის მიხედვით. თუ მთელი რიცხვითი ფესვები ნაპოვნი არ არის, სცადეთ წილადები.

$$x=-1$$

ბეზუს თეორემის მიხედვით, x-k არის მრავალწევრის მამრავლი თითოეული ფესვისთვის k. გაყავით x^{3}-12x^{2}+48x+61 x+1-ზე x^{2}-13x+61-ის მისაღებად. ამოხსენით განტოლება, სადაც შედეგი უდრის 0.

$$x^{2}-13x+61=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ჩაანაცვლეთ 1 a-თვის, -13 b-თვის და 61 c-თვის კვადრატულ ფორმულაში.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 1\times 61}}{2}$$

შეასრულეთ გამოთვლები.

$$x=\frac{13±\sqrt{-75}}{2}$$

ვინაიდან უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვი არ არის განსაზღვრული რეალურ ველში, ამონახსნი არ არსებობს.

$$x\in \emptyset$$

ჩამოთვალეთ ყველა ნაპოვნი ამოხსნა.

$$x=-1$$