გადაწყვიტეთ 2x-2x^2=12

$$2x-2 { x }^{ 2 } = 12$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{23}i}{2}\approx 0.5+2.397915762i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{2}\approx 0.5-2.397915762i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-2x^{2}+2x=12$$

გამოაკელით 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x^{2}+2x-12=12-12$$

12-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-2x^{2}+2x-12=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -2-ით a, 2-ით b და -12-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-2\right)\left(-12\right)}}{2\left(-2\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-2\right)\left(-12\right)}}{2\left(-2\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+8\left(-12\right)}}{2\left(-2\right)}$$

გაამრავლეთ 8-ზე -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-96}}{2\left(-2\right)}$$

მიუმატეთ 4 -96-ს.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-92}}{2\left(-2\right)}$$

აიღეთ -92-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{2\left(-2\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -2.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{-4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{-4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -2 2i\sqrt{23}-ს.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{23}i}{-4}$$

გაყავით -2+2i\sqrt{23} -4-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±2\sqrt{23}i}{-4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2i\sqrt{23} -2-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{23}i-2}{-4}$$

გაყავით -2-2i\sqrt{23} -4-ზე.

$$x=\frac{1+\sqrt{23}i}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{23}i}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+2x=12$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$\frac{-2x^{2}+2x}{-2}=\frac{12}{-2}$$

-2-ზე გაყოფა აუქმებს -2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{2}{-2}x=\frac{12}{-2}$$

გაყავით 2 -2-ზე.

$$x^{2}-x=\frac{12}{-2}$$

გაყავით 12 -2-ზე.

$$x^{2}-x=-6$$

გაყავით -1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-6+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-6+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ -6 \frac{1}{4}-ს.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{23}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-x+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{23}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{23}i}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{23}i}{2}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1+\sqrt{23}i}{2} x=\frac{-\sqrt{23}i+1}{2}$$