გადაწყვიტეთ 29x^2+8x+7=0

$$29 x ^ { 2 } + 8 x + 7 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29}\approx -0.137931034+0.471544632i$$

$$x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}\approx -0.137931034-0.471544632i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$29x^{2}+8x+7=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 29-ით a, 8-ით b და 7-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 29\times 7}}{2\times 29}$$

აიყვანეთ კვადრატში 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 29\times 7}}{2\times 29}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 29.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-116\times 7}}{2\times 29}$$

გაამრავლეთ -116-ზე 7.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-812}}{2\times 29}$$

მიუმატეთ 64 -812-ს.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-748}}{2\times 29}$$

აიღეთ -748-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{2\times 29}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 29.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -8 2i\sqrt{187}-ს.

$$x=\frac{-8+2\sqrt{187}i}{58}$$

გაყავით -8+2i\sqrt{187} 58-ზე.

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-8±2\sqrt{187}i}{58} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2i\sqrt{187} -8-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{187}i-8}{58}$$

გაყავით -8-2i\sqrt{187} 58-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29} x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$29x^{2}+8x+7=0$$

გამოაკელით 7 განტოლების ორივე მხარეს.

$$29x^{2}+8x+7-7=-7$$

7-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$29x^{2}+8x=-7$$

ორივე მხარე გაყავით 29-ზე.

$$\frac{29x^{2}+8x}{29}=-\frac{7}{29}$$

29-ზე გაყოფა აუქმებს 29-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x=-\frac{7}{29}$$

გაყავით \frac{8}{29}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{4}{29}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{4}{29}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\left(\frac{4}{29}\right)^{2}=-\frac{7}{29}+\left(\frac{4}{29}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{4}{29} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841}=-\frac{7}{29}+\frac{16}{841}$$

მიუმატეთ -\frac{7}{29} \frac{16}{841}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841}=-\frac{187}{841}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{8}{29}x+\frac{16}{841}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{29}\right)^{2}=-\frac{187}{841}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{29}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{187}{841}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{4}{29}=\frac{\sqrt{187}i}{29} x+\frac{4}{29}=-\frac{\sqrt{187}i}{29}$$

გამოაკელით \frac{4}{29} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-4+\sqrt{187}i}{29} x=\frac{-\sqrt{187}i-4}{29}$$