გადაწყვიტეთ 25x^2-40x+16=0

$$25 x ^ { 2 } - 40 x + 16 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{4}{5}=0.8$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 25x^{2}+ax+bx+16. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-40 ab=25\times 16=400$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -40.

$$a=-20 b=-20$$

ხელახლა დაწერეთ 25x^{2}-40x+16, როგორც \left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right).

$$\left(25x^{2}-20x\right)+\left(-20x+16\right)$$

5x-ის პირველ, -4-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$5x\left(5x-4\right)-4\left(5x-4\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 5x-4 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(5x-4\right)\left(5x-4\right)$$

გადაწერეთ ბინომის კვადრატის სახით.

$$\left(5x-4\right)^{2}$$

განტოლების პასუხის მისაღებად ამოხსენით 5x-4=0.

$$x=\frac{4}{5}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 25-ით a, -40-ით b და 16-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

აიყვანეთ კვადრატში -40.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-4\times 25\times 16}}{2\times 25}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 25.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-100\times 16}}{2\times 25}$$

გაამრავლეთ -100-ზე 16.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{1600-1600}}{2\times 25}$$

მიუმატეთ 1600 -1600-ს.

$$x=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

აიღეთ 0-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=-\frac{-40}{2\times 25}$$

-40-ის საპირისპიროა 40.

$$x=\frac{40}{2\times 25}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 25.

$$x=\frac{40}{50}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{40}{50} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 10-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{4}{5}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-40x+16=0$$

გამოაკელით 16 განტოლების ორივე მხარეს.

$$25x^{2}-40x+16-16=-16$$

16-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$25x^{2}-40x=-16$$

ორივე მხარე გაყავით 25-ზე.

$$\frac{25x^{2}-40x}{25}=-\frac{16}{25}$$

25-ზე გაყოფა აუქმებს 25-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{40}{25}\right)x=-\frac{16}{25}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-40}{25} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 5-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x=-\frac{16}{25}$$

გაყავით -\frac{8}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{4}{5}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{4}{5}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{16}{25}+\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{4}{5} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{-16+16}{25}$$

მიუმატეთ -\frac{16}{25} \frac{16}{25}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=0$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}=0$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{4}{5}=0 x-\frac{4}{5}=0$$

მიუმატეთ \frac{4}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{4}{5} x=\frac{4}{5}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია. ამონახსბები იგივეა.

$$x=\frac{4}{5}$$