გადაწყვიტეთ 25x^2-10x+1=0

$$25 x ^ { 2 } - 10 x + 1 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{1}{5}=0.2$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 25x^{2}+ax+bx+1. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-10 ab=25\times 1=25$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b უარყოფითია, ორივე, a და b უარყოფითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 25.

$$-1,-25 -5,-5$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1-25=-26 -5-5=-10$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -10.

$$a=-5 b=-5$$

ხელახლა დაწერეთ 25x^{2}-10x+1, როგორც \left(25x^{2}-5x\right)+\left(-5x+1\right).

$$\left(25x^{2}-5x\right)+\left(-5x+1\right)$$

5x-ის პირველ, -1-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$5x\left(5x-1\right)-\left(5x-1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 5x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(5x-1\right)\left(5x-1\right)$$

გადაწერეთ ბინომის კვადრატის სახით.

$$\left(5x-1\right)^{2}$$

განტოლების პასუხის მისაღებად ამოხსენით 5x-1=0.

$$x=\frac{1}{5}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$25x^{2}-10x+1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 25-ით a, -10-ით b და 1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 25}}{2\times 25}$$

აიყვანეთ კვადრატში -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 25}}{2\times 25}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 25.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-100}}{2\times 25}$$

მიუმატეთ 100 -100-ს.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

აიღეთ 0-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=-\frac{-10}{2\times 25}$$

-10-ის საპირისპიროა 10.

$$x=\frac{10}{2\times 25}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 25.

$$x=\frac{10}{50}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{10}{50} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 10-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{1}{5}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-10x+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$25x^{2}-10x+1-1=-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$25x^{2}-10x=-1$$

ორივე მხარე გაყავით 25-ზე.

$$\frac{25x^{2}-10x}{25}=-\frac{1}{25}$$

25-ზე გაყოფა აუქმებს 25-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{25}\right)x=-\frac{1}{25}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-10}{25} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 5-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=-\frac{1}{25}$$

გაყავით -\frac{2}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{5}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{5}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{25}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{5} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{-1+1}{25}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{25} \frac{1}{25}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=0$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=0$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{5}=0 x-\frac{1}{5}=0$$

მიუმატეთ \frac{1}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1}{5} x=\frac{1}{5}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია. ამონახსბები იგივეა.

$$x=\frac{1}{5}$$