გადაწყვიტეთ 25x^2-90x+87=0

$$25 { x }^{ 2 } -90x+87=0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{9+\sqrt{6}i}{5}\approx 1.8+0.489897949i$$

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+9}{5}\approx 1.8-0.489897949i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$25x^{2}-90x+87=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 25-ით a, -90-ით b და 87-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 25\times 87}}{2\times 25}$$

აიყვანეთ კვადრატში -90.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 25\times 87}}{2\times 25}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 25.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-100\times 87}}{2\times 25}$$

გაამრავლეთ -100-ზე 87.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-8700}}{2\times 25}$$

მიუმატეთ 8100 -8700-ს.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{-600}}{2\times 25}$$

აიღეთ -600-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±10\sqrt{6}i}{2\times 25}$$

-90-ის საპირისპიროა 90.

$$x=\frac{90±10\sqrt{6}i}{2\times 25}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 25.

$$x=\frac{90±10\sqrt{6}i}{50}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{90±10\sqrt{6}i}{50} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 90 10i\sqrt{6}-ს.

$$x=\frac{90+10\sqrt{6}i}{50}$$

გაყავით 90+10i\sqrt{6} 50-ზე.

$$x=\frac{9+\sqrt{6}i}{5}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{90±10\sqrt{6}i}{50} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 10i\sqrt{6} 90-ს.

$$x=\frac{-10\sqrt{6}i+90}{50}$$

გაყავით 90-10i\sqrt{6} 50-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{6}i+9}{5}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{9+\sqrt{6}i}{5} x=\frac{-\sqrt{6}i+9}{5}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}-90x+87=0$$

გამოაკელით 87 განტოლების ორივე მხარეს.

$$25x^{2}-90x+87-87=-87$$

87-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$25x^{2}-90x=-87$$

ორივე მხარე გაყავით 25-ზე.

$$\frac{25x^{2}-90x}{25}=-\frac{87}{25}$$

25-ზე გაყოფა აუქმებს 25-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{90}{25}\right)x=-\frac{87}{25}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-90}{25} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 5-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x=-\frac{87}{25}$$

გაყავით -\frac{18}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{9}{5}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{9}{5}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{87}{25}+\left(-\frac{9}{5}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{9}{5} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=\frac{-87+81}{25}$$

მიუმატეთ -\frac{87}{25} \frac{81}{25}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}=-\frac{6}{25}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{18}{5}x+\frac{81}{25}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}=-\frac{6}{25}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{6}{25}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{9}{5}=\frac{\sqrt{6}i}{5} x-\frac{9}{5}=-\frac{\sqrt{6}i}{5}$$

მიუმატეთ \frac{9}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{9+\sqrt{6}i}{5} x=\frac{-\sqrt{6}i+9}{5}$$