გადაწყვიტეთ 25x^2+30x=12

$$25 { x }^{ 2 } +30x=12$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5}\approx 0.316515139$$

$$x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}\approx -1.516515139$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$25x^{2}+30x=12$$

გამოაკელით 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$25x^{2}+30x-12=12-12$$

12-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$25x^{2}+30x-12=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 25-ით a, 30-ით b და -12-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 25\left(-12\right)}}{2\times 25}$$

აიყვანეთ კვადრატში 30.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 25\left(-12\right)}}{2\times 25}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 25.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-100\left(-12\right)}}{2\times 25}$$

გაამრავლეთ -100-ზე -12.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+1200}}{2\times 25}$$

მიუმატეთ 900 1200-ს.

$$x=\frac{-30±\sqrt{2100}}{2\times 25}$$

აიღეთ 2100-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{2\times 25}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 25.

$$x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{50}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{50} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -30 10\sqrt{21}-ს.

$$x=\frac{10\sqrt{21}-30}{50}$$

გაყავით -30+10\sqrt{21} 50-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-30±10\sqrt{21}}{50} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 10\sqrt{21} -30-ს.

$$x=\frac{-10\sqrt{21}-30}{50}$$

გაყავით -30-10\sqrt{21} 50-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5} x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}+30x=12$$

ორივე მხარე გაყავით 25-ზე.

$$\frac{25x^{2}+30x}{25}=\frac{12}{25}$$

25-ზე გაყოფა აუქმებს 25-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{30}{25}x=\frac{12}{25}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{30}{25} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 5-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{12}{25}$$

გაყავით \frac{6}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{5}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{5}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{12}{25}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{5} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{12+9}{25}$$

მიუმატეთ \frac{12}{25} \frac{9}{25}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{21}{25}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{21}{25}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{25}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{\sqrt{21}}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{\sqrt{21}}{5}$$

გამოაკელით \frac{3}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{21}-3}{5} x=\frac{-\sqrt{21}-3}{5}$$