გადაწყვიტეთ 25left(4+xright)^2+7(5-x)(5+x)=295-45x^2

$$25 { \left(4+x \right) }^{ 2 } +7(5-x)(5+x)=295-45 { x }^{ 2 }$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}\approx -1.587301587+1.387414183i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}\approx -1.587301587-1.387414183i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(4+x\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 25 16+8x+x^{2}-ზე.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 7 5-x-ზე.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ 35-7x 5+x-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

შეკრიბეთ 400 და 175, რათა მიიღოთ 575.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

დააჯგუფეთ 25x^{2} და -7x^{2}, რათა მიიღოთ 18x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

გამოაკელით 295 ორივე მხარეს.

$$575+200x+18x^{2}-295=-45x^{2}$$

გამოაკელით 295 575-ს 280-ის მისაღებად.

$$280+200x+18x^{2}=-45x^{2}$$

დაამატეთ 45x^{2} ორივე მხარეს.

$$280+200x+18x^{2}+45x^{2}=0$$

დააჯგუფეთ 18x^{2} და 45x^{2}, რათა მიიღოთ 63x^{2}.

$$280+200x+63x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$63x^{2}+200x+280=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 63-ით a, 200-ით b და 280-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

აიყვანეთ კვადრატში 200.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\times 63\times 280}}{2\times 63}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 63.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-252\times 280}}{2\times 63}$$

გაამრავლეთ -252-ზე 280.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-70560}}{2\times 63}$$

მიუმატეთ 40000 -70560-ს.

$$x=\frac{-200±\sqrt{-30560}}{2\times 63}$$

აიღეთ -30560-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{2\times 63}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 63.

$$x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -200 4i\sqrt{1910}-ს.

$$x=\frac{-200+4\sqrt{1910}i}{126}$$

გაყავით -200+4i\sqrt{1910} 126-ზე.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-200±4\sqrt{1910}i}{126} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4i\sqrt{1910} -200-ს.

$$x=\frac{-4\sqrt{1910}i-200}{126}$$

გაყავით -200-4i\sqrt{1910} 126-ზე.

$$x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(4+x\right)^{2}-ის გასაშლელად.

$$25\left(16+8x+x^{2}\right)+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 25 16+8x+x^{2}-ზე.

$$400+200x+25x^{2}+7\left(5-x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 7 5-x-ზე.

$$400+200x+25x^{2}+\left(35-7x\right)\left(5+x\right)=295-45x^{2}$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ 35-7x 5+x-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$400+200x+25x^{2}+175-7x^{2}=295-45x^{2}$$

შეკრიბეთ 400 და 175, რათა მიიღოთ 575.

$$575+200x+25x^{2}-7x^{2}=295-45x^{2}$$

დააჯგუფეთ 25x^{2} და -7x^{2}, რათა მიიღოთ 18x^{2}.

$$575+200x+18x^{2}=295-45x^{2}$$

დაამატეთ 45x^{2} ორივე მხარეს.

$$575+200x+18x^{2}+45x^{2}=295$$

დააჯგუფეთ 18x^{2} და 45x^{2}, რათა მიიღოთ 63x^{2}.

$$575+200x+63x^{2}=295$$

გამოაკელით 575 ორივე მხარეს.

$$200x+63x^{2}=295-575$$

გამოაკელით 575 295-ს -280-ის მისაღებად.

$$200x+63x^{2}=-280$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$63x^{2}+200x=-280$$

ორივე მხარე გაყავით 63-ზე.

$$\frac{63x^{2}+200x}{63}=-\frac{280}{63}$$

63-ზე გაყოფა აუქმებს 63-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{280}{63}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-280}{63} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 7-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x=-\frac{40}{9}$$

გაყავით \frac{200}{63}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{100}{63}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{100}{63}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{40}{9}+\left(\frac{100}{63}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{100}{63} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{40}{9}+\frac{10000}{3969}$$

მიუმატეთ -\frac{40}{9} \frac{10000}{3969}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}=-\frac{7640}{3969}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{200}{63}x+\frac{10000}{3969}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}=-\frac{7640}{3969}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{63}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7640}{3969}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{100}{63}=\frac{2\sqrt{1910}i}{63} x+\frac{100}{63}=-\frac{2\sqrt{1910}i}{63}$$

გამოაკელით \frac{100}{63} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-100+2\sqrt{1910}i}{63} x=\frac{-2\sqrt{1910}i-100}{63}$$