გადაწყვიტეთ 2448x^2+1376x+208=0

$$2448 { x }^{ 2 } +1376x+208 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-43+2\sqrt{35}i}{153}\approx -0.281045752+0.077334376i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{35}i-43}{153}\approx -0.281045752-0.077334376i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2448x^{2}+1376x+208=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2448-ით a, 1376-ით b და 208-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1376±\sqrt{1376^{2}-4\times 2448\times 208}}{2\times 2448}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1376.

$$x=\frac{-1376±\sqrt{1893376-4\times 2448\times 208}}{2\times 2448}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2448.

$$x=\frac{-1376±\sqrt{1893376-9792\times 208}}{2\times 2448}$$

გაამრავლეთ -9792-ზე 208.

$$x=\frac{-1376±\sqrt{1893376-2036736}}{2\times 2448}$$

მიუმატეთ 1893376 -2036736-ს.

$$x=\frac{-1376±\sqrt{-143360}}{2\times 2448}$$

აიღეთ -143360-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-1376±64\sqrt{35}i}{2\times 2448}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2448.

$$x=\frac{-1376±64\sqrt{35}i}{4896}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1376±64\sqrt{35}i}{4896} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -1376 64i\sqrt{35}-ს.

$$x=\frac{-1376+64\sqrt{35}i}{4896}$$

გაყავით -1376+64i\sqrt{35} 4896-ზე.

$$x=\frac{-43+2\sqrt{35}i}{153}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1376±64\sqrt{35}i}{4896} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 64i\sqrt{35} -1376-ს.

$$x=\frac{-64\sqrt{35}i-1376}{4896}$$

გაყავით -1376-64i\sqrt{35} 4896-ზე.

$$x=\frac{-2\sqrt{35}i-43}{153}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-43+2\sqrt{35}i}{153} x=\frac{-2\sqrt{35}i-43}{153}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2448x^{2}+1376x+208=0$$

გამოაკელით 208 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2448x^{2}+1376x+208-208=-208$$

208-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2448x^{2}+1376x=-208$$

ორივე მხარე გაყავით 2448-ზე.

$$\frac{2448x^{2}+1376x}{2448}=-\frac{208}{2448}$$

2448-ზე გაყოფა აუქმებს 2448-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{1376}{2448}x=-\frac{208}{2448}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{1376}{2448} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 16-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{86}{153}x=-\frac{208}{2448}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-208}{2448} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 16-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{86}{153}x=-\frac{13}{153}$$

გაყავით \frac{86}{153}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{43}{153}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{43}{153}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{86}{153}x+\left(\frac{43}{153}\right)^{2}=-\frac{13}{153}+\left(\frac{43}{153}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{43}{153} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{86}{153}x+\frac{1849}{23409}=-\frac{13}{153}+\frac{1849}{23409}$$

მიუმატეთ -\frac{13}{153} \frac{1849}{23409}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{86}{153}x+\frac{1849}{23409}=-\frac{140}{23409}$$

მამრავლებად დაშალეთ x^{2}+\frac{86}{153}x+\frac{1849}{23409}. საერთოდ, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა შემდეგნაირად: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{43}{153}\right)^{2}=-\frac{140}{23409}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{43}{153}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{140}{23409}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{43}{153}=\frac{2\sqrt{35}i}{153} x+\frac{43}{153}=-\frac{2\sqrt{35}i}{153}$$

გამოაკელით \frac{43}{153} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-43+2\sqrt{35}i}{153} x=\frac{-2\sqrt{35}i-43}{153}$$