გადაწყვიტეთ 24k^2+50k+24=0

$$24 { k }^{ 2 } +50k+24 = 0$$

ამოხსნა k-ისთვის

$$k = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$k=-\frac{3}{4}=-0.75$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$12k^{2}+25k+12=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 12k^{2}+ak+bk+12. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=25 ab=12\times 12=144$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 25.

$$a=9 b=16$$

ხელახლა დაწერეთ 12k^{2}+25k+12, როგორც \left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right).

$$\left(12k^{2}+9k\right)+\left(16k+12\right)$$

3k-ის პირველ, 4-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$3k\left(4k+3\right)+4\left(4k+3\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 4k+3 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(4k+3\right)\left(3k+4\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 4k+3=0 და 3k+4=0.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 24-ით a, 50-ით b და 24-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

აიყვანეთ კვადრატში 50.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-4\times 24\times 24}}{2\times 24}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-96\times 24}}{2\times 24}$$

გაამრავლეთ -96-ზე 24.

$$k=\frac{-50±\sqrt{2500-2304}}{2\times 24}$$

მიუმატეთ 2500 -2304-ს.

$$k=\frac{-50±\sqrt{196}}{2\times 24}$$

აიღეთ 196-ის კვადრატული ფესვი.

$$k=\frac{-50±14}{2\times 24}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 24.

$$k=\frac{-50±14}{48}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება k=\frac{-50±14}{48} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -50 14-ს.

$$k=-\frac{36}{48}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-36}{48} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 12-ის შეკვეცით.

$$k=-\frac{3}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება k=\frac{-50±14}{48} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 14 -50-ს.

$$k=-\frac{64}{48}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-64}{48} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 16-ის შეკვეცით.

$$k=-\frac{4}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$24k^{2}+50k+24=0$$

გამოაკელით 24 განტოლების ორივე მხარეს.

$$24k^{2}+50k+24-24=-24$$

24-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$24k^{2}+50k=-24$$

ორივე მხარე გაყავით 24-ზე.

$$\frac{24k^{2}+50k}{24}=-\frac{24}{24}$$

24-ზე გაყოფა აუქმებს 24-ზე გამრავლებას.

$$k^{2}+\frac{50}{24}k=-\frac{24}{24}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{50}{24} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-\frac{24}{24}$$

გაყავით -24 24-ზე.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k=-1$$

გაყავით \frac{25}{12}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{25}{24}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{25}{24}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}=-1+\left(\frac{25}{24}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{25}{24} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=-1+\frac{625}{576}$$

მიუმატეთ -1 \frac{625}{576}-ს.

$$k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}=\frac{49}{576}$$

დაშალეთ მამრავლებად k^{2}+\frac{25}{12}k+\frac{625}{576}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}=\frac{49}{576}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(k+\frac{25}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{576}}$$

გაამარტივეთ.

$$k+\frac{25}{24}=\frac{7}{24} k+\frac{25}{24}=-\frac{7}{24}$$

გამოაკელით \frac{25}{24} განტოლების ორივე მხარეს.

$$k=-\frac{3}{4} k=-\frac{4}{3}$$