გადაწყვიტეთ 24+5x-x^2=0

$$24 + 5 x - x ^ { 2 } = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-3$$

$$x=8$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$-x^{2}+5x+24=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -x^{2}+ax+bx+24. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=5 ab=-24=-24$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 5.

$$a=8 b=-3$$

ხელახლა დაწერეთ -x^{2}+5x+24, როგორც \left(-x^{2}+8x\right)+\left(-3x+24\right).

$$\left(-x^{2}+8x\right)+\left(-3x+24\right)$$

-x-ის პირველ, -3-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$-x\left(x-8\right)-3\left(x-8\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-8 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-8\right)\left(-x-3\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-8=0 და -x-3=0.

$$x=8 x=-3$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-x^{2}+5x+24=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, 5-ით b და 24-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 4-ზე 24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+96}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ 25 96-ს.

$$x=\frac{-5±\sqrt{121}}{2\left(-1\right)}$$

აიღეთ 121-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-5±11}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$x=\frac{-5±11}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-5±11}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -5 11-ს.

$$x=\frac{6}{-2}$$

გაყავით 6 -2-ზე.

$$x=-3$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-5±11}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 11 -5-ს.

$$x=-\frac{16}{-2}$$

გაყავით -16 -2-ზე.

$$x=8$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-3 x=8$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+5x+24=0$$

გამოაკელით 24 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x^{2}+5x+24-24=-24$$

24-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-x^{2}+5x=-24$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=-\frac{24}{-1}$$

-1-ზე გაყოფა აუქმებს -1-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=-\frac{24}{-1}$$

გაყავით 5 -1-ზე.

$$x^{2}-5x=-\frac{24}{-1}$$

გაყავით -24 -1-ზე.

$$x^{2}-5x=24$$

გაყავით -5, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{5}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{5}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{5}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

მიუმატეთ 24 \frac{25}{4}-ს.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-5x+\frac{25}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

მიუმატეთ \frac{5}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=8 x=-3$$