გადაწყვიტეთ 219x^2-12x+4=0

$$219 x ^ { 2 } - 12 x + 4 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}\approx 0.02739726+0.13234134i$$

$$x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}\approx 0.02739726-0.13234134i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$219x^{2}-12x+4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 219-ით a, -12-ით b და 4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 219\times 4}}{2\times 219}$$

აიყვანეთ კვადრატში -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 219\times 4}}{2\times 219}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 219.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-876\times 4}}{2\times 219}$$

გაამრავლეთ -876-ზე 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-3504}}{2\times 219}$$

მიუმატეთ 144 -3504-ს.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-3360}}{2\times 219}$$

აიღეთ -3360-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{210}i}{2\times 219}$$

-12-ის საპირისპიროა 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{2\times 219}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 219.

$$x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{438}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{438} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 12 4i\sqrt{210}-ს.

$$x=\frac{12+4\sqrt{210}i}{438}$$

გაყავით 12+4i\sqrt{210} 438-ზე.

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{12±4\sqrt{210}i}{438} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4i\sqrt{210} 12-ს.

$$x=\frac{-4\sqrt{210}i+12}{438}$$

გაყავით 12-4i\sqrt{210} 438-ზე.

$$x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73} x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$219x^{2}-12x+4=0$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$219x^{2}-12x+4-4=-4$$

4-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$219x^{2}-12x=-4$$

ორივე მხარე გაყავით 219-ზე.

$$\frac{219x^{2}-12x}{219}=-\frac{4}{219}$$

219-ზე გაყოფა აუქმებს 219-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{219}\right)x=-\frac{4}{219}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-12}{219} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x=-\frac{4}{219}$$

გაყავით -\frac{4}{73}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{2}{73}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{2}{73}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x+\left(-\frac{2}{73}\right)^{2}=-\frac{4}{219}+\left(-\frac{2}{73}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{2}{73} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x+\frac{4}{5329}=-\frac{4}{219}+\frac{4}{5329}$$

მიუმატეთ -\frac{4}{219} \frac{4}{5329}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{4}{73}x+\frac{4}{5329}=-\frac{280}{15987}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{4}{73}x+\frac{4}{5329}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{73}\right)^{2}=-\frac{280}{15987}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{73}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{280}{15987}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{2}{73}=\frac{2\sqrt{210}i}{219} x-\frac{2}{73}=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}$$

მიუმატეთ \frac{2}{73} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73} x=-\frac{2\sqrt{210}i}{219}+\frac{2}{73}$$