გადაწყვიტეთ 20x-2x^2=48

$$20x-2 { x }^{ 2 } =48$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=4$$

$$x=6$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 48 ორივე მხარეს.

$$20x-2x^{2}-48=0$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$10x-x^{2}-24=0$$

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$-x^{2}+10x-24=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -x^{2}+ax+bx-24. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=10 ab=-\left(-24\right)=24$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 10.

$$a=6 b=4$$

ხელახლა დაწერეთ -x^{2}+10x-24, როგორც \left(-x^{2}+6x\right)+\left(4x-24\right).

$$\left(-x^{2}+6x\right)+\left(4x-24\right)$$

-x-ის პირველ, 4-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$-x\left(x-6\right)+4\left(x-6\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-6 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-6\right)\left(-x+4\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-6=0 და -x+4=0.

$$x=6 x=4$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-2x^{2}+20x=48$$

გამოაკელით 48 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x^{2}+20x-48=48-48$$

48-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-2x^{2}+20x-48=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -2-ით a, 20-ით b და -48-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-2\right)\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-2\right)\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -2.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+8\left(-48\right)}}{2\left(-2\right)}$$

გაამრავლეთ 8-ზე -48.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-384}}{2\left(-2\right)}$$

მიუმატეთ 400 -384-ს.

$$x=\frac{-20±\sqrt{16}}{2\left(-2\right)}$$

აიღეთ 16-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-20±4}{2\left(-2\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -2.

$$x=\frac{-20±4}{-4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-20±4}{-4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -20 4-ს.

$$x=-\frac{16}{-4}$$

გაყავით -16 -4-ზე.

$$x=4$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-20±4}{-4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4 -20-ს.

$$x=-\frac{24}{-4}$$

გაყავით -24 -4-ზე.

$$x=6$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=4 x=6$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+20x=48$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$\frac{-2x^{2}+20x}{-2}=\frac{48}{-2}$$

-2-ზე გაყოფა აუქმებს -2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{20}{-2}x=\frac{48}{-2}$$

გაყავით 20 -2-ზე.

$$x^{2}-10x=\frac{48}{-2}$$

გაყავით 48 -2-ზე.

$$x^{2}-10x=-24$$

გაყავით -10, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -5-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -5-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-24+\left(-5\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -5.

$$x^{2}-10x+25=-24+25$$

მიუმატეთ -24 25-ს.

$$x^{2}-10x+25=1$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-10x+25. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=1$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

გაამარტივეთ.

$$x-5=1 x-5=-1$$

მიუმატეთ 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=6 x=4$$