გადაწყვიტეთ 20x^2-28x-1=0

$$20 x ^ { 2 } - 28 x - 1 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{3 \sqrt{6} + 7}{10} \approx 1.434846923$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}\approx -0.034846923$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 20-ით a, -28-ით b და -1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

აიყვანეთ კვადრატში -28.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 20.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

გაამრავლეთ -80-ზე -1.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784+80}}{2\times 20}$$

მიუმატეთ 784 80-ს.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{864}}{2\times 20}$$

აიღეთ 864-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-28\right)±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

-28-ის საპირისპიროა 28.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{2\times 20}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 20.

$$x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 28 12\sqrt{6}-ს.

$$x=\frac{12\sqrt{6}+28}{40}$$

გაყავით 28+12\sqrt{6} 40-ზე.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{28±12\sqrt{6}}{40} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 12\sqrt{6} 28-ს.

$$x=\frac{28-12\sqrt{6}}{40}$$

გაყავით 28-12\sqrt{6} 40-ზე.

$$x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-28x-1=0$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$20x^{2}-28x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$20x^{2}-28x=-\left(-1\right)$$

გამოაკელით -1 0-ს.

$$20x^{2}-28x=1$$

ორივე მხარე გაყავით 20-ზე.

$$\frac{20x^{2}-28x}{20}=\frac{1}{20}$$

20-ზე გაყოფა აუქმებს 20-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{28}{20}\right)x=\frac{1}{20}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-28}{20} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{1}{20}$$

გაყავით -\frac{7}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{7}{10}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{7}{10}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{7}{10} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{1}{20}+\frac{49}{100}$$

მიუმატეთ \frac{1}{20} \frac{49}{100}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=\frac{27}{50}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=\frac{27}{50}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{50}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{3\sqrt{6}}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{3\sqrt{6}}{10}$$

მიუმატეთ \frac{7}{10} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{3\sqrt{6}+7}{10} x=\frac{7-3\sqrt{6}}{10}$$