გადაწყვიტეთ 20p^2+33p+16=6

$$20 p ^ { 2 } + 33 p + 16 = 6$$

ამოხსნა p-ისთვის

$$p = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1.25$$

$$p=-\frac{2}{5}=-0.4$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 6 ორივე მხარეს.

$$20p^{2}+33p+16-6=0$$

გამოაკელით 6 16-ს 10-ის მისაღებად.

$$20p^{2}+33p+10=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 20p^{2}+ap+bp+10. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=33 ab=20\times 10=200$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 200.

$$1,200 2,100 4,50 5,40 8,25 10,20$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+200=201 2+100=102 4+50=54 5+40=45 8+25=33 10+20=30$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 33.

$$a=8 b=25$$

ხელახლა დაწერეთ 20p^{2}+33p+10, როგორც \left(20p^{2}+8p\right)+\left(25p+10\right).

$$\left(20p^{2}+8p\right)+\left(25p+10\right)$$

4p-ის პირველ, 5-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$4p\left(5p+2\right)+5\left(5p+2\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 5p+2 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(5p+2\right)\left(4p+5\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 5p+2=0 და 4p+5=0.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$20p^{2}+33p+16=6$$

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$20p^{2}+33p+16-6=6-6$$

6-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$20p^{2}+33p+16-6=0$$

გამოაკელით 6 16-ს.

$$20p^{2}+33p+10=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 20-ით a, 33-ით b და 10-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 20\times 10}}{2\times 20}$$

აიყვანეთ კვადრატში 33.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 20\times 10}}{2\times 20}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 20.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-80\times 10}}{2\times 20}$$

გაამრავლეთ -80-ზე 10.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-800}}{2\times 20}$$

მიუმატეთ 1089 -800-ს.

$$p=\frac{-33±\sqrt{289}}{2\times 20}$$

აიღეთ 289-ის კვადრატული ფესვი.

$$p=\frac{-33±17}{2\times 20}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 20.

$$p=\frac{-33±17}{40}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება p=\frac{-33±17}{40} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -33 17-ს.

$$p=-\frac{16}{40}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-16}{40} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 8-ის შეკვეცით.

$$p=-\frac{2}{5}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება p=\frac{-33±17}{40} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 17 -33-ს.

$$p=-\frac{50}{40}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-50}{40} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 10-ის შეკვეცით.

$$p=-\frac{5}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$20p^{2}+33p+16=6$$

გამოაკელით 16 განტოლების ორივე მხარეს.

$$20p^{2}+33p+16-16=6-16$$

16-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$20p^{2}+33p=6-16$$

გამოაკელით 16 6-ს.

$$20p^{2}+33p=-10$$

ორივე მხარე გაყავით 20-ზე.

$$\frac{20p^{2}+33p}{20}=-\frac{10}{20}$$

20-ზე გაყოფა აუქმებს 20-ზე გამრავლებას.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p=-\frac{10}{20}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-10}{20} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 10-ის შეკვეცით.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p=-\frac{1}{2}$$

გაყავით \frac{33}{20}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{33}{40}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{33}{40}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\left(\frac{33}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{33}{40}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{33}{40} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}=-\frac{1}{2}+\frac{1089}{1600}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{2} \frac{1089}{1600}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}=\frac{289}{1600}$$

დაშალეთ მამრავლებად p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p+\frac{33}{40}\right)^{2}=\frac{289}{1600}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(p+\frac{33}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{1600}}$$

გაამარტივეთ.

$$p+\frac{33}{40}=\frac{17}{40} p+\frac{33}{40}=-\frac{17}{40}$$

გამოაკელით \frac{33}{40} განტოლების ორივე მხარეს.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$