გადაწყვიტეთ 20x^2-x-1=0

$$20 { x }^{ 2 } -x-1 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 20x^{2}+ax+bx-1. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -1.

$$a=-5 b=4$$

ხელახლა დაწერეთ 20x^{2}-x-1, როგორც \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

მამრავლებად დაშალეთ 5x 20x^{2}-5x-ში.

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 4x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 4x-1=0 და 5x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$20x^{2}-x-1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 20-ით a, -1-ით b და -1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 20.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

გაამრავლეთ -80-ზე -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

მიუმატეთ 1 80-ს.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

აიღეთ 81-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

-1-ის საპირისპიროა 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 20.

$$x=\frac{1±9}{40}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{1±9}{40} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 1 9-ს.

$$x=\frac{10}{40}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{10}{40} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 10-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{1}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{1±9}{40} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 9 1-ს.

$$x=-\frac{8}{40}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-8}{40} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 8-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{1}{5}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-x-1=0$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

გამოაკელით -1 0-ს.

$$20x^{2}-x=1$$

ორივე მხარე გაყავით 20-ზე.

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

20-ზე გაყოფა აუქმებს 20-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

გაყავით -\frac{1}{20}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{40}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{40}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{40} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

მიუმატეთ \frac{1}{20} \frac{1}{1600}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

მიუმატეთ \frac{1}{40} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$