გადაწყვიტეთ 2z^2-3z+3=0

$$2 z ^ { 2 } - 3 z + 3 = 0$$

ამოხსნა z-ისთვის

$$z=\frac{3+\sqrt{15}i}{4}\approx 0.75+0.968245837i$$

$$z=\frac{-\sqrt{15}i+3}{4}\approx 0.75-0.968245837i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2z^{2}-3z+3=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, -3-ით b და 3-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -3.

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\times 3}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე 3.

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-24}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 9 -24-ს.

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-15}}{2\times 2}$$

აიღეთ -15-ის კვადრატული ფესვი.

$$z=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{15}i}{2\times 2}$$

-3-ის საპირისპიროა 3.

$$z=\frac{3±\sqrt{15}i}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$z=\frac{3±\sqrt{15}i}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება z=\frac{3±\sqrt{15}i}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 3 i\sqrt{15}-ს.

$$z=\frac{3+\sqrt{15}i}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება z=\frac{3±\sqrt{15}i}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{15} 3-ს.

$$z=\frac{-\sqrt{15}i+3}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$z=\frac{3+\sqrt{15}i}{4} z=\frac{-\sqrt{15}i+3}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2z^{2}-3z+3=0$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2z^{2}-3z+3-3=-3$$

3-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2z^{2}-3z=-3$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2z^{2}-3z}{2}=-\frac{3}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$z^{2}-\frac{3}{2}z=-\frac{3}{2}$$

გაყავით -\frac{3}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{3}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{3}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$z^{2}-\frac{3}{2}z+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{3}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$z^{2}-\frac{3}{2}z+\frac{9}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{9}{16}$$

მიუმატეთ -\frac{3}{2} \frac{9}{16}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$z^{2}-\frac{3}{2}z+\frac{9}{16}=-\frac{15}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად z^{2}-\frac{3}{2}z+\frac{9}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{15}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(z-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$z-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{15}i}{4} z-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{15}i}{4}$$

მიუმატეთ \frac{3}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$z=\frac{3+\sqrt{15}i}{4} z=\frac{-\sqrt{15}i+3}{4}$$