გადაწყვიტეთ 2x-ky+3=0,4x+6y-5=0

$$2 x - ky + 3 = 0,4 x + 6 y - 5 = 0$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-\frac{18-5k}{4\left(k+3\right)}$$

$$y=\frac{11}{2\left(k+3\right)}$$

$$k\neq -3$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x+\left(-k\right)y+3=0,4x+6y-5=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x+\left(-k\right)y+3=0$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x+\left(-k\right)y=-3$$

მიუმატეთ ky განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=ky-3$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(ky-3\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე ky-3.

$$x=\frac{k}{2}y-\frac{3}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{ky-3}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+6y-5=0.

$$4\left(\frac{k}{2}y-\frac{3}{2}\right)+6y-5=0$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{ky-3}{2}.

$$2ky-6+6y-5=0$$

მიუმატეთ 2ky 6y-ს.

$$\left(2k+6\right)y-6-5=0$$

მიუმატეთ -6 -5-ს.

$$\left(2k+6\right)y-11=0$$

მიუმატეთ 11 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(2k+6\right)y=11$$

ორივე მხარე გაყავით 6+2k-ზე.

$$y=\frac{11}{2\left(k+3\right)}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{11}{2\left(3+k\right)}-ით y აქ: x=\frac{k}{2}y-\frac{3}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{k}{2}\times \frac{11}{2\left(k+3\right)}-\frac{3}{2}$$

გაამრავლეთ \frac{k}{2}-ზე \frac{11}{2\left(3+k\right)}.

$$x=\frac{11k}{4\left(k+3\right)}-\frac{3}{2}$$

მიუმატეთ -\frac{3}{2} \frac{11k}{4\left(3+k\right)}-ს.

$$x=\frac{5k-18}{4\left(k+3\right)}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5k-18}{4\left(k+3\right)},y=\frac{11}{2\left(k+3\right)}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x+\left(-k\right)y+3=0,4x+6y-5=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-k\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-k\\4&6\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-k\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-k\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-k\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-k\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-k\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-\left(-k\right)\times 4}&-\frac{-k}{2\times 6-\left(-k\right)\times 4}\\-\frac{4}{2\times 6-\left(-k\right)\times 4}&\frac{2}{2\times 6-\left(-k\right)\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\left(k+3\right)}&\frac{k}{4\left(k+3\right)}\\-\frac{1}{k+3}&\frac{1}{2\left(k+3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\left(k+3\right)}\left(-3\right)+\frac{k}{4\left(k+3\right)}\times 5\\\left(-\frac{1}{k+3}\right)\left(-3\right)+\frac{1}{2\left(k+3\right)}\times 5\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5k-18}{4\left(k+3\right)}\\\frac{11}{2\left(k+3\right)}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{5k-18}{4\left(k+3\right)},y=\frac{11}{2\left(k+3\right)}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x+\left(-k\right)y+3=0,4x+6y-5=0$$

იმისათვის, რომ 2x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$4\times 2x+4\left(-k\right)y+4\times 3=0,2\times 4x+2\times 6y+2\left(-5\right)=0$$

გაამარტივეთ.

$$8x+\left(-4k\right)y+12=0,8x+12y-10=0$$

გამოაკელით 8x+12y-10=0 8x+\left(-4k\right)y+12=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$8x-8x+\left(-4k\right)y-12y+12+10=0$$

მიუმატეთ 8x -8x-ს. პირობები 8x და -8x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$\left(-4k\right)y-12y+12+10=0$$

მიუმატეთ -4ky -12y-ს.

$$\left(-4k-12\right)y+12+10=0$$

მიუმატეთ 12 10-ს.

$$\left(-4k-12\right)y+22=0$$

გამოაკელით 22 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(-4k-12\right)y=-22$$

ორივე მხარე გაყავით -4k-12-ზე.

$$y=\frac{11}{2\left(k+3\right)}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{11}{2\left(3+k\right)}-ით y აქ: 4x+6y-5=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x+6\times \frac{11}{2\left(k+3\right)}-5=0$$

გაამრავლეთ 6-ზე \frac{11}{2\left(3+k\right)}.

$$4x+\frac{33}{k+3}-5=0$$

მიუმატეთ \frac{33}{3+k} -5-ს.

$$4x+\frac{18-5k}{k+3}=0$$

გამოაკელით \frac{18-5k}{3+k} განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-\frac{18-5k}{k+3}$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=-\frac{18-5k}{4\left(k+3\right)}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{18-5k}{4\left(k+3\right)},y=\frac{11}{2\left(k+3\right)}$$