გადაწყვიტეთ 2x-3y+5=0,4x+ky-2=0

$$2 x - 3 y + 5 = 0,4 x + k y - 2 = 0$$

ამოხსნა x, y-ისთვის

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)}$$

$$y=\frac{12}{k+6}$$

$$k\neq -6$$

ეტაპები ჩანაცვლების გამოყენებით

განტოლებების წყვილის ამოსახსნელად ჩანაცვლების გამოყენების გზით, ჯერ ამოხსენით ერთ-ერთი განტოლება ერთ-ერთი ცვლადისთვის. შემდეგ ჩაანაცვლეთ შედეგი ამ ცვლადისთვის მეორე განტოლებაში.

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

აირჩიეთ ერთ-ერთი განტოლება და ამოხსენით იგი x-ისთვის, x-ის იზოლირებით ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს.

$$2x-3y+5=0$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x-3y=-5$$

მიუმატეთ 3y განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x=3y-5$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

გაამრავლეთ \frac{1}{2}-ზე 3y-5.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{3y-5}{2}-ით x მეორე განტოლებაში, 4x+ky-2=0.

$$4\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)+ky-2=0$$

გაამრავლეთ 4-ზე \frac{3y-5}{2}.

$$6y-10+ky-2=0$$

მიუმატეთ 6y ky-ს.

$$\left(k+6\right)y-10-2=0$$

მიუმატეთ -10 -2-ს.

$$\left(k+6\right)y-12=0$$

მიუმატეთ 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(k+6\right)y=12$$

ორივე მხარე გაყავით 6+k-ზე.

$$y=\frac{12}{k+6}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{12}{6+k}-ით y აქ: x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{12}{k+6}-\frac{5}{2}$$

გაამრავლეთ \frac{3}{2}-ზე \frac{12}{6+k}.

$$x=\frac{18}{k+6}-\frac{5}{2}$$

მიუმატეთ -\frac{5}{2} \frac{18}{6+k}-ს.

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$

ეტაპები მატრიცების გამოყენებით

გადაიყვანეთ განტოლებები სტანდარტულ ფორმაში და შემდეგ გამოიყენეთ მატრიცები განტოლებების სისტემის ამოსახსნელად.

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

ჩაწერეთ განტოლებები მატრიცის ფორმით.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

მარცხენა განტოლების გამრავლება \left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right)-ის საპირისპირო მატრიცაზე.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

მატრიცის და მისი საპირისპიროს ნამრავლი არის იდენტურობის მატრიცა.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

ტოლობის ნიშნის მარცხენა მხარეს მატრიცების გამრავლება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 მატრიცისთვის \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), შექცეული მატრიცა არის \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), ამიტომ შესაძლებელია მატრიცული განტოლების გადაწერა მატრიცის გამრავლების პრობლემის სახით.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2k-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2k-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2k-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2k-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2\left(k+6\right)}&\frac{3}{2\left(k+6\right)}\\-\frac{2}{k+6}&\frac{1}{k+6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

გადაამრავლეთ მატრიცები.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2\left(k+6\right)}\left(-5\right)+\frac{3}{2\left(k+6\right)}\times 2\\\left(-\frac{2}{k+6}\right)\left(-5\right)+\frac{1}{k+6}\times 2\end{matrix}\right)$$

შეასრულეთ არითმეტიკული მოქმედება.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)}\\\frac{12}{k+6}\end{matrix}\right)$$

ამოიღეთ მატრიცის ელემენტები - x და y.

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$

ეტაპები შეკვეცის გამოყენებით

გამორიცხვის მეთოდით ამოსახსნელად, ერთ-ერთი ცვლადის კოეფიციენტები ორივე განტოლებაში უნდა იყოს ერთმანეთის ტოლი, რათა ცვლადი გაბათილდეს ერთი განტოლების მეორიდან გამოკლებისას.

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

იმისათვის, რომ 2x და 4x ტოლი იყოს, გაამრავლეთ ყველა წევრი პირველი განტოლების თითოეულ მხარეს 4-ზე, ხოლო ყველა წევრი მეორე განტოლების თითოეულ მხარეს 2-ზე.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y+4\times 5=0,2\times 4x+2ky+2\left(-2\right)=0$$

გაამარტივეთ.

$$8x-12y+20=0,8x+2ky-4=0$$

გამოაკელით 8x+2ky-4=0 8x-12y+20=0-იდან, მსგავსი წევრების გამოკლებით ტოლობის ნიშნის თითოეულ მხარეს.

$$8x-8x-12y+\left(-2k\right)y+20+4=0$$

მიუმატეთ 8x -8x-ს. პირობები 8x და -8x გაბათილდება, განტოლებაში დარჩება მხოლოდ ერთი ცვლადი, რომლის ამოხსნაც შესაძლებელია.

$$-12y+\left(-2k\right)y+20+4=0$$

მიუმატეთ -12y -2ky-ს.

$$\left(-2k-12\right)y+20+4=0$$

მიუმატეთ 20 4-ს.

$$\left(-2k-12\right)y+24=0$$

გამოაკელით 24 განტოლების ორივე მხარეს.

$$\left(-2k-12\right)y=-24$$

ორივე მხარე გაყავით -12-2k-ზე.

$$y=\frac{12}{k+6}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{12}{6+k}-ით y აქ: 4x+ky-2=0. იმის გამო, რომ შედეგად მიღებული განტოლება მხოლოდ ერთ ცვლადს შეიცავს, შეგიძლიათ პირდაპირ ამოხსნათ x.

$$4x+k\times \frac{12}{k+6}-2=0$$

გაამრავლეთ k-ზე \frac{12}{6+k}.

$$4x+\frac{12k}{k+6}-2=0$$

მიუმატეთ \frac{12k}{6+k} -2-ს.

$$4x+\frac{2\left(5k-6\right)}{k+6}=0$$

გამოაკელით \frac{2\left(5k-6\right)}{6+k} განტოლების ორივე მხარეს.

$$4x=-\frac{2\left(5k-6\right)}{k+6}$$

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)}$$

სისტემა ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$