გადაწყვიტეთ 2x-3x^2-4=0

$$2 x - 3 x ^ { 2 } - 4 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}\approx 0.333333333-1.105541597i$$

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3}\approx 0.333333333+1.105541597i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-3x^{2}+2x-4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -3-ით a, 2-ით b და -4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ 12-ზე -4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-48}}{2\left(-3\right)}$$

მიუმატეთ 4 -48-ს.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-44}}{2\left(-3\right)}$$

აიღეთ -44-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{11}i}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{11}i}{-6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±2\sqrt{11}i}{-6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -2 2i\sqrt{11}-ს.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{11}i}{-6}$$

გაყავით -2+2i\sqrt{11} -6-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±2\sqrt{11}i}{-6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2i\sqrt{11} -2-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}i-2}{-6}$$

გაყავით -2-2i\sqrt{11} -6-ზე.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3} x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+2x-4=0$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3x^{2}+2x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

-4-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-3x^{2}+2x=-\left(-4\right)$$

გამოაკელით -4 0-ს.

$$-3x^{2}+2x=4$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$\frac{-3x^{2}+2x}{-3}=\frac{4}{-3}$$

-3-ზე გაყოფა აუქმებს -3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{2}{-3}x=\frac{4}{-3}$$

გაყავით 2 -3-ზე.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{4}{-3}$$

გაყავით 4 -3-ზე.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{4}{3}$$

გაყავით -\frac{2}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{4}{3}+\frac{1}{9}$$

მიუმატეთ -\frac{4}{3} \frac{1}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{11}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{11}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{11}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{11}i}{3}$$

მიუმატეთ \frac{1}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1+\sqrt{11}i}{3} x=\frac{-\sqrt{11}i+1}{3}$$