გადაწყვიტეთ 2x^2-5x-9=0

$$2 x ^ { 2 } - 5 x - 9 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{97} + 5}{4} \approx 3.71221445$$

$$x=\frac{5-\sqrt{97}}{4}\approx -1.21221445$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}-5x-9=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, -5-ით b და -9-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე -9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+72}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 25 72-ს.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{97}}{2\times 2}$$

-5-ის საპირისპიროა 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{97}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{5±\sqrt{97}}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{5±\sqrt{97}}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 5 \sqrt{97}-ს.

$$x=\frac{\sqrt{97}+5}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{5±\sqrt{97}}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \sqrt{97} 5-ს.

$$x=\frac{5-\sqrt{97}}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{97}+5}{4} x=\frac{5-\sqrt{97}}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-5x-9=0$$

მიუმატეთ 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}-5x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

-9-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}-5x=-\left(-9\right)$$

გამოაკელით -9 0-ს.

$$2x^{2}-5x=9$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=\frac{9}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{9}{2}$$

გაყავით -\frac{5}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{5}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{5}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{5}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{9}{2}+\frac{25}{16}$$

მიუმატეთ \frac{9}{2} \frac{25}{16}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{97}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{97}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{97}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{97}}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{97}}{4}$$

მიუმატეთ \frac{5}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{97}+5}{4} x=\frac{5-\sqrt{97}}{4}$$