გადაწყვიტეთ 2x^2-2x-12=28

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 12 = 28$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-4$$

$$x=5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 28 ორივე მხარეს.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

გამოაკელით 28 -12-ს -40-ის მისაღებად.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$x^{2}-x-20=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც x^{2}+ax+bx-20. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-1 ab=1\left(-20\right)=-20$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -1.

$$a=-5 b=4$$

ხელახლა დაწერეთ x^{2}-x-20, როგორც \left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right)$$

x-ის პირველ, 4-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(x-5\right)+4\left(x-5\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-5 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-5\right)\left(x+4\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-5=0 და x+4=0.

$$x=5 x=-4$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

გამოაკელით 28 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}-2x-12-28=28-28$$

28-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

გამოაკელით 28 -12-ს.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, -2-ით b და -40-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე -40.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 4 320-ს.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 2}$$

აიღეთ 324-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 2}$$

-2-ის საპირისპიროა 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{2±18}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±18}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 2 18-ს.

$$x=\frac{20}{4}$$

გაყავით 20 4-ზე.

$$x=5$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±18}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 18 2-ს.

$$x=-\frac{16}{4}$$

გაყავით -16 4-ზე.

$$x=-4$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=5 x=-4$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

მიუმატეთ 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}-2x-12-\left(-12\right)=28-\left(-12\right)$$

-12-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}-2x=28-\left(-12\right)$$

გამოაკელით -12 28-ს.

$$2x^{2}-2x=40$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{40}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{40}{2}$$

გაყავით -2 2-ზე.

$$x^{2}-x=\frac{40}{2}$$

გაყავით 40 2-ზე.

$$x^{2}-x=20$$

გაყავით -1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=20+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ 20 \frac{1}{4}-ს.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{81}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-x+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=5 x=-4$$