გადაწყვიტეთ 2x^2-2x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1.366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0.366025404$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, -2-ით b და -1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 4 8-ს.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

აიღეთ 12-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

-2-ის საპირისპიროა 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 2 2\sqrt{3}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

გაყავით 2+2\sqrt{3} 4-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{3} 2-ს.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

გაყავით 2-2\sqrt{3} 4-ზე.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

გამოაკელით -1 0-ს.

$$2x^{2}-2x=1$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

გაყავით -2 2-ზე.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

გაყავით -1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} \frac{1}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-x+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$