გადაწყვიტეთ 2x^2-10x=6+11sqrt{x^2-5x}

$$2 x ^ { 2 } - 10 x = 6 + 11 \sqrt { x ^ { 2 } - 5 x }$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-4$$

$$x=9$$

ამონახსნის ეტაპები

გამოაკელით 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}$$

აიყვანეთ კვადრატში განტოლების ორივე მხარე.

$$\left(2x^{2}-10x-6\right)^{2}=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 2x^{2}-10x-6.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

დაშალეთ \left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=11^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის 11 ხარისხი და მიიღეთ 121.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

გამოთვალეთ2-ის \sqrt{x^{2}-5x} ხარისხი და მიიღეთ x^{2}-5x.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(x^{2}-5x\right)$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 121 x^{2}-5x-ზე.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121x^{2}-605x$$

გამოაკელით 121x^{2} ორივე მხარეს.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36-121x^{2}=-605x$$

დააჯგუფეთ 76x^{2} და -121x^{2}, რათა მიიღოთ -45x^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36=-605x$$

დაამატეთ 605x ორივე მხარეს.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36+605x=0$$

დააჯგუფეთ 120x და 605x, რათა მიიღოთ 725x.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36=0$$

რაციონალური ფესვების შესახებ თეორემის მიხედვით, მრავალწევრის ყველა რაციონალური ფესვი არის ფორმაში \frac{p}{q}, სადაც p ყოფს თავისუფალ წევრს36 და q ყოფს უფროს კოეფიციენტს 4. ჩამოთვალეთ ყველა შესაძლო ამონახსნი \frac{p}{q}.

$$±9,±18,±36,±\frac{9}{2},±3,±6,±12,±\frac{9}{4},±\frac{3}{2},±1,±2,±4,±\frac{3}{4},±\frac{1}{2},±\frac{1}{4}$$

იპოვნეთ ერთი ასეთი ფესვი ყველა მთელი რიცხვის მნიშვნელობის გადარჩევით, დაწყებული პატარადან, აბსოლუტური მნიშვნელობის მიხედვით. თუ მთელი რიცხვითი ფესვები ნაპოვნი არ არის, სცადეთ წილადები.

$$x=-4$$

ბეზუს თეორემის მიხედვით, x-k არის მრავალწევრის მამრავლი თითოეული ფესვისთვის k. გაყავით 4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36 x+4-ზე 4x^{3}-56x^{2}+179x+9-ის მისაღებად. ამოხსენით განტოლება, სადაც შედეგი უდრის 0.

$$4x^{3}-56x^{2}+179x+9=0$$

რაციონალური ფესვების შესახებ თეორემის მიხედვით, მრავალწევრის ყველა რაციონალური ფესვი არის ფორმაში \frac{p}{q}, სადაც p ყოფს თავისუფალ წევრს9 და q ყოფს უფროს კოეფიციენტს 4. ჩამოთვალეთ ყველა შესაძლო ამონახსნი \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

იპოვნეთ ერთი ასეთი ფესვი ყველა მთელი რიცხვის მნიშვნელობის გადარჩევით, დაწყებული პატარადან, აბსოლუტური მნიშვნელობის მიხედვით. თუ მთელი რიცხვითი ფესვები ნაპოვნი არ არის, სცადეთ წილადები.

$$x=9$$

ბეზუს თეორემის მიხედვით, x-k არის მრავალწევრის მამრავლი თითოეული ფესვისთვის k. გაყავით 4x^{3}-56x^{2}+179x+9 x-9-ზე 4x^{2}-20x-1-ის მისაღებად. ამოხსენით განტოლება, სადაც შედეგი უდრის 0.

$$4x^{2}-20x-1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ჩაანაცვლეთ 4 a-თვის, -20 b-თვის და -1 c-თვის კვადრატულ ფორმულაში.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

შეასრულეთ გამოთვლები.

$$x=\frac{20±4\sqrt{26}}{8}$$

ამოხსენით განტოლება 4x^{2}-20x-1=0, როცა ± არის პლუსი და როცა ± არის მინუსი.

$$x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

ჩამოთვალეთ ყველა ნაპოვნი ამოხსნა.

$$x=-4 x=9 x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

ჩაანაცვლეთ -4-ით x განტოლებაში, 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\left(-4\right)^{2}-10\left(-4\right)=6+11\sqrt{\left(-4\right)^{2}-5\left(-4\right)}$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=-4 აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$72=72$$

ჩაანაცვლეთ 9-ით x განტოლებაში, 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times 9^{2}-10\times 9=6+11\sqrt{9^{2}-5\times 9}$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=9 აკმაყოფილებს განტოლებას.

$$72=72$$

ჩაანაცვლეთ \frac{5-\sqrt{26}}{2}-ით x განტოლებაში, 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-10\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-5\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}}$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} არ აკმაყოფოლებს განტოლებას.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

ჩაანაცვლეთ \frac{\sqrt{26}+5}{2}-ით x განტოლებაში, 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-10\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-5\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}}$$

გაამარტივეთ. სიდიდე x=\frac{\sqrt{26}+5}{2} არ აკმაყოფოლებს განტოლებას.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

ჩამოთვალეთ 2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}-ის ამოხსნები.

$$x=-4 x=9$$