გადაწყვიტეთ 2x^2+8x+9=0

$$2 x ^ { 2 } + 8 x + 9 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{2}-2\approx -2+0.707106781i$$

$$x=-\frac{\sqrt{2}i}{2}-2\approx -2-0.707106781i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$2x^{2}+8x+9=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 2-ით a, 8-ით b და 9-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 2.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-8\times 9}}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ -8-ზე 9.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-72}}{2\times 2}$$

მიუმატეთ 64 -72-ს.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-8}}{2\times 2}$$

აიღეთ -8-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{2}i}{2\times 2}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 2.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{2}i}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-8±2\sqrt{2}i}{4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -8 2i\sqrt{2}-ს.

$$x=\frac{-8+2\sqrt{2}i}{4}$$

გაყავით -8+2i\sqrt{2} 4-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{2}-2$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-8±2\sqrt{2}i}{4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2i\sqrt{2} -8-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-8}{4}$$

გაყავით -8-2i\sqrt{2} 4-ზე.

$$x=-\frac{\sqrt{2}i}{2}-2$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{2}-2 x=-\frac{\sqrt{2}i}{2}-2$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+8x+9=0$$

გამოაკელით 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$2x^{2}+8x+9-9=-9$$

9-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$2x^{2}+8x=-9$$

ორივე მხარე გაყავით 2-ზე.

$$\frac{2x^{2}+8x}{2}=-\frac{9}{2}$$

2-ზე გაყოფა აუქმებს 2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{8}{2}x=-\frac{9}{2}$$

გაყავით 8 2-ზე.

$$x^{2}+4x=-\frac{9}{2}$$

გაყავით 4, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 2-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 2-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+4x+2^{2}=-\frac{9}{2}+2^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 2.

$$x^{2}+4x+4=-\frac{9}{2}+4$$

მიუმატეთ -\frac{9}{2} 4-ს.

$$x^{2}+4x+4=-\frac{1}{2}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+4x+4. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=-\frac{1}{2}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{2}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+2=\frac{\sqrt{2}i}{2} x+2=-\frac{\sqrt{2}i}{2}$$

გამოაკელით 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{2}-2 x=-\frac{\sqrt{2}i}{2}-2$$